Espace de Banach

Espace de Banach

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de \C (en général, K=\R ou \C), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle.

Sommaire

Caractérisation par les séries

Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si toute série absolument convergente de cet espace est convergente.

Exemples

  1. Les espaces euclidiens \R^n et les espaces hermitiens \C^n munis de la norme ||(x_1,\ldots,x_n)|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i \overline{x_i}} \, où \overline{x_i} désigne le conjugué de xi.
  2. L'espace des fonctions (à valeurs réelles ou complexes) continues et bornées sur un espace topologique X, muni de la norme ||f|| = \sup_{x \in X}(|f(x)|). En particulier, l'espace des fonctions continues sur un espace X compact, comme un intervalle réel [a,b].
  3. Pour tout réel p supérieur ou égal à 1, l'espace Lp des classes de fonctions mesurables (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace mesuré X, et dont la puissance p-ième est intégrable (l'exemple 1 en est un cas particulier, avec p=2 et X fini).
  4. L'espace L∞ (dont l'exemple 2 est un sous-espace, lorsque l'espace topologique X est le support d'une mesure borélienne).

Propriété des fermés emboîtés

Article détaillé : Théorème des fermés emboités.

Soit une suite décroissante de fermés non vides d'un espace de Banach telle que le diamètre de chaque fermé soit réel et que la suite des diamètres tende vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer qu'un espace de Banach est de Baire.

Cette propriété peut être fausse sans l'hypothèse que les diamètres tendent vers 0, même si on suppose les fermés bornés.

Théorème de Banach-Steinhaus

Article détaillé : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E un espace de Banach, et F un espace vectoriel normé. Soit (u_i)_{i\in I} une famille d'éléments de \mathcal L(E,F) (voir application linéaire) et soit A l'ensemble des vecteurs x\in E tels que \sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty . Alors, ou bien A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, ou bien \sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty . En particulier, si A = E, seule la seconde éventualité est possible (la dernière norme utilisée est la norme d'opérateur (ou norme subordonnée)).

Bibliographie

  • Nicolas Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Springer-Verlag, 1987 
  • (en) Bernard Beauzamy, Introduction to Banach Spaces and their Geometry, North-Holland, 1985  (seconde édition)

Voir aussi

Structures topologiques :

Théorèmes d'analyse :

Biographie :


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