Theoreme des fermes emboites

Theoreme des fermes emboites

Théorème des fermés emboités

Soit (E,d) un espace métrique que l'on suppose complet. Soit Fn une suite décroissante de fermés non vide de E dont le diamètre tend vers zéro. Le théorème des fermés emboités affirme alors que l'intersection des Fn est réduite à un point.

Démonstration

Si on prend un élément xn dans chaque Fn, la suite (xn) est de Cauchy. En effet, pour un \varepsilon>0 fixé, il existe un rang N à partir duquel on a \mathrm{Diam}(F_n,F_m)<\varepsilon, et en particulier d(x_n,x_m)<\varepsilon. Cette suite est donc convergente car E est complet. Par ailleurs sa limite x appartient à chaque Fn car si n\in\mathbb{N} et m>n, alors x_m \in F_m\subset F_n donc (x_m)_{m>n}\in F_n^\mathbb{N}. Fn étant fermé,x=lim_{m \to \infty}(x_m)\in F_n, et ce pour tout n. On a donc prouvé que l'intersection des Fn est non vide.

Elle est de plus réduite à un point, car s'il existe deux points x et y dans cette intersection, alors comme le diamètre tend vers zéro on a d(x,y) qui tend vers zéro également, donc nécessairement x = y.

Lorsque E=\mathbb R et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend donc la forme suivante : soit [an,bn] une suite décroissante de segments de \mathbb R tels que bn − an tende vers zéro, alors l'intersection des segments [an,bn] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboités.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me des ferm%C3%A9s emboit%C3%A9s ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme des fermes emboites de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème des fermés emboités — En mathématiques, plus précisément en topologie, le théorème des fermés emboîtés affirme que si un espace métrique (E,d) est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides Fn de E dont le diamètre tend vers zéro, l intersection… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des segments emboîtés — Théorème des fermés emboités Soit (E,d) un espace métrique que l on suppose complet. Soit Fn une suite décroissante de fermés non vide de E dont le diamètre tend vers zéro. Le théorème des fermés emboités affirme alors que l intersection des Fn… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des compacts emboites — Théorème des compacts emboités Soit (E,d) un espace métrique compact. Si (Fn) est une suite décroissante de fermés non vides de E, alors l intersection de tous les Fn est non vide. Autrement dit si (Fn) est une suite décroissante de fermés de E,… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des compacts emboités — Soit (E,d) un espace métrique compact. Si (Fn) est une suite décroissante de fermés non vides de E, alors l intersection de tous les Fn est non vide. Autrement dit si (Fn) est une suite décroissante de fermés de E, d intersection vide, alors il… …   Wikipédia en Français

  • Corps des réels — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des theoremes — Liste des théorèmes Liste des théorèmes par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le… …   Wikipédia en Français

  • Liste des théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”