Variété de Banach

Variété de Banach

En topologie et en géométrie différentielle, une variété de Banach ou variété banachique est une généralisation en dimension infinie des concepts de variété topologique et de variété différentielle. Une variété de Banach est ainsi un espace topologique localement homéomorphe à un espace de Banach.

Définition

Soit \displaystyle E un espace de Banach réel et \displaystyle X un espace topologique supposé séparé et à base dénombrable. Alors \displaystyle X est une variété de Banach s’il satisfait les conditions suivantes :

  1. \displaystyle X possède un recouvrement d’ouverts \displaystyle \{U_i\} à chacun desquels est associé un homéomorphisme à valeurs dans \displaystyle E, soit \varphi_i:U_i\rightarrow \varphi_i(U_i)\subset E. Un couple \displaystyle (U_i,\varphi_i) est une carte locale et l’ensemble des cartes associées au recouvrement constitue un atlas.
  2. Au sein de l’atlas, toutes les applications de changement de cartes
\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}:\varphi_j(U_i\cap U_j)\rightarrow \varphi_i(U_i\cap U_j) sont des homéomorphismes.


Pour k > 0 entier, on parlera de k-variété de Banach si les homéomorphismes des cartes et ceux des changement de cartes sont des difféomorphismes de classe Ck.

Structure

Deux atlas sont dits compatibles si la réunion de leurs cartes locales respectives satisfait encore les propriétés précédentes. La compatibilité étant une relation d'équivalence entre les atlas, il existe au sein d’une classe un atlas dit maximal défini par la réunion de toutes les cartes de tous les atlas de la classe. Ce dernier induit sur \displaystyle X une structure qui est ainsi caractérisée de manière univoque.

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variété de Banach de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Variété banachique — Une variété banachique ou variété de Banach est une généralisation en dimension infinie de la notion de variété différentielle. Soit E un espace de Banach réel. Une carte locale d un espace topologique X sur E est la donnée d un ouvert U de X et… …   Wikipédia en Français

  • Variété (géométrie) — Pour les articles homonymes, voir Variété. Réalisation du ruban de Möbius à partir du collage d une bande de papier. Le « bord » n est que d un seul tenant. En math …   Wikipédia en Français

  • Variété de Fréchet — En topologie différentielle, une variété de Fréchet est un espace topologique qui est localement homéomorphe à un espace de Fréchet. Définition : Un espace topologique X est appelé variété de Fréchet lorsque, pour tout point x de X, il… …   Wikipédia en Français

  • Variete differentielle — Variété différentielle En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s agit de variétés sur lesquelles il est possible d… …   Wikipédia en Français

  • Variété différentiable — Variété différentielle En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s agit de variétés sur lesquelles il est possible d… …   Wikipédia en Français

  • Variete riemannienne — Variété riemannienne Une variété riemannienne est une variété différentielle ayant une structure supplémentaire permettant de définir la longueur d un chemin entre deux points de la variété. Sommaire 1 Définitions et exemples élémentaires 1.1… …   Wikipédia en Français

  • Variété différentielle — En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s agit de variétés sur lesquelles il est possible d effectuer les opérations… …   Wikipédia en Français

  • Variété riemannienne — En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une variété riemannienne est une variété différentielle ayant une structure supplémentaire (une métrique riemannienne) permettant de définir la longueur d un chemin entre deux points de la… …   Wikipédia en Français

  • Variété de Hilbert — En géométrie, une variété de Hilbert est une variété construite sur un espace de Hilbert. Ainsi, il s agit d un espace séparé dans lequel chaque point possède un voisinage homéomorphe à un espace de Hilbert de dimension infinie. Le concept de… …   Wikipédia en Français

  • Espace de Banach — En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous corps K de (en général, ou ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”