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Espace de Banach
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle.
Sommaire
Exemples
Par la suite
peut être remplacé par
ou
.
- Les espaces euclidiens
munis de la norme
où x = (x1,...,xn) sont des espaces de Banach.
- L'espace des fonctions continues définies sur un intervalle :
muni de la norme
forme un espace de Banach.
Propriété des fermés emboîtés
Soit une suite décroissante de fermés non vides d'un espace de Banach telle que le diamètre de chaque fermé soit réel et que la suite des diamètres tende vers 0. Alors l'intersection des fermés est réduite à un singleton.
Cette propriété permet de démontrer qu'un espace de Banach est de Baire.
Cette propriété peut être fausse sans l'hypothèse que les diamètres tendent vers 0, même si on suppose les fermés bornés.
Théorème de Banach-Steinhaus
Voir l'article de fond : Théorème de Banach-Steinhaus.
Soient E un espace de Banach, et F un espace vectoriel normé. Soit
une famille d'éléments de
(voir application linéaire) et soit A l'ensemble des vecteurs
tels que
. Alors soit A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, soit
. En particulier, si A = E, seule la seconde éventualité est possible.
Remarque : la dernière norme utilisée est la norme d'opérateur (ou norme subordonnée).
Littérature
- Stefan Banach : Théorie des opérations linéaires. -- Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901
Liens internes
Structures topologiques :
Théorèmes d'analyse :
- Théorème de Baire-Banach
- Théorème de Banach-Schauder
- Théorème de Banach-Steinhaus
- Théorème de Hahn-Banach
Biographie :
- Portail des mathématiques
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