Ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot (en noir)

L'ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite définie par récurrence par :

Zoom sur une partie de la représentation

Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.

z_n+1 = z_n² + c

avec z₀ = 0

ne tend pas vers l'infini (en module).

Si nous reformulons cela sans utiliser les nombres complexes, en remplaçant z_n par le couple de réels (x_n, y_n) et c par le couple (a, b), alors nous obtenons :

x_n+1 = x_n² - y_n² + a et y_n+1 = 2x_ny_n + b

avec x₀ = y₀ = 0,

la condition devenant que ni x_n, ni y_n ne tendent vers l'infini (en valeur absolue).

L'ensemble de Mandelbrot a été découvert par Gaston Julia et Pierre Fatou^[1] avant la première guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont l'œuvre de Adrien Douady^[2], en hommage aux représentations qu'en a réalisées Benoît Mandelbrot alors qu'il travaillait chez IBM. Cet ensemble permet d'indicer les ensembles de Julia : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent; ces points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes, et ceux en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

Sommaire

1 Historique
2 Propriétés
3 Dessiner l'ensemble
- 3.1 Un zoom commenté
4 Généralisations et variantes
5 Logiciels générateurs de fractales
6 Notes et références
7 Voir aussi

Historique

Benoit Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot tire ses origines de la dynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du XX^e siècle.

La première représentation de cet ensemble apparait en 1978 dans un article de Robert Brooks et Peter Matelski^[3].

Le 1^er mars 1980, au centre de recherche IBM Thomas J. Watson (dans l'État de New York), Benoit Mandelbrot obtient pour la première fois, une visualisation par ordinateur de cet ensemble^[4]. Mandelbrot étudie l'espace des paramètres des polynômes quadratiques complexes dans un article publié en 1980^[5].

En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'Adrien Douady et John H. Hubbard^[6], qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot.

En 1985, les mathématiciens Heinz-Otto Peitgen et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité et qui frappent les esprits^[7]^,^[8]^,^[9]

Dans le numéro d'août 1985 du magazine Scientific American l'ensemble de Mandelbrot est présenté au grand public comme « l'objet mathématique le plus complexe jamais découvert » et présente l'algorithme qui permet de le tracer soi-même. La couverture de ce numéro reprend une image créée par Peitgen^[10]^,^[11].

Les travaux de Douady et Hubbard coïncidaient avec un intérêt considérable pour la dynamique complexe et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été le centre d'attention de ce domaine depuis. Parmi les mathématiciens qui apportèrent une contribution significative à l'étude de cet ensemble, il faut citer Tan Lei, Mikhail Lyubich, Curtis T. McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura et Jean-Christophe Yoccoz.

Propriétés

Géométrie élémentaire

L'ensemble $M$ de Mandelbrot est une partie du plan complexe (incluse dans le disque fermé de centre $0$ et de rayon $2$ ) qui est compacte, et symétrique par rapport à l'axe réel.

Son intersection avec l'axe réel est le segment $\left[-2,\frac14\right].$

Démonstration

Soient

${}^{(P_n)_{n\in\N}}$ la suite de polynômes définie par :

P 0 = X

et $\scriptstyle\forall n\in\N,~P_{n+1}=P_n^2+X,$

M n

l'ensemble des nombres complexes

z

tels que ${}^{|P_n(z)|\le2}$

M

l'ensemble (de Mandelbrot) des nombres complexes

z

tels que $\scriptstyle\sup_n|P_n(z)|<+\infty.$

$(M n) n$ est une suite décroissante de parties compactes connexes (non vides) du plan complexe d'intersection $M$ qui est par conséquent une partie compacte connexe (non vide) du plan complexe incluse dans $M 0$ (qui n'est autre que le disque fermé de centre $0$ et de rayon $2$ ).

La compacité des $M n$ est claire vu que ce sont des fermés bornés du plan complexe.

Pour voir que la suite $(M n)$ est décroissante (au sens de l'inclusion) on commence par établir que tous les $M n$ sont contenus dans $M 0,$ en effet si $\scriptstyle|z|>2$ on a $\scriptstyle|P_1(z)|=|z^2+z|\ge|z|^2-|z|>|z|>2$ et une récurrence donne $| P n (z) | > | z | > 2$ pour tout $\scriptstyle n\ge1.$

D'où si $\scriptstyle z\in M_{n+1}$ on a $\scriptstyle|P_n(z)|^2\le|P_{n+1}(z)|+|z|\le4$ c'est-à-dire $\scriptstyle z\in M_n.$

Pour voir que $\scriptstyle M=\cap_nM_n,$ il suffit de remarquer que pour $\scriptstyle z\in M,$ le réel $\scriptstyle m(z)=\sup_n|P_n(z)|$ vérifie $\scriptstyle(m(z))^2\le2m(z)$ et donc $\scriptstyle m(z)\le2.$

Zéro (qui est racine de tous les $P n$ ) est intérieur à $M$ en effet si $\scriptstyle|z|\le1/4,$ une récurrence donne

$\forall n\in\N,\qquad|P_n(z)|\le1/2.$

Montrons que $\scriptstyle M\cap\R=\left[-2,1/4\right].$ On a déjà $\scriptstyle\left[0,1/4\right]\subset M.$

Pour $\scriptstyle z\in[-2,0],$ on montre par récurrence que $\scriptstyle|P_n(z)|\le-z$ pour tout $\scriptstyle n\in\N.$ En effet, c'est trivial pour $n = 0$ et si on suppose $\scriptstyle|P_n(z)|\le-z$ pour un certain $\scriptstyle n\ge0$

et vu que $\scriptstyle P_n^2(z)\ge0$ on a $\scriptstyle z\le P_{n+1}(z)\le z^2+z\le-z.$

Pour $\scriptstyle z\in\left]1/4,+\infty\right[,$ la suite $(P n (z)) n$ est réelle positive d'où en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique

$P_{n+1}(z)\ge(2\sqrt z)P_n(z),\quad\text{soit}\quad P_n(z)\ge(2\sqrt{z})^nz.$

Les polynômes $P n$ étant à coefficients réels, tous les $M n$ ainsi que $M$ sont stables par conjugaison complexe (ce qui se traduit géométriquement par la symétrie des $M n$ et de $M$ par rapport à l'axe réel).

Remarque : Toutes les racines des polynômes $P n$ sont dans $M$ en effet si $z$ est racine d'un certain polynôme $P r$ alors (par récurrence) $P n + r + 1 (z) = P n (z)$ pour tout ${}^{n\in\N}$ , ce qui veut dire que la suite $(P n (z)) n$ est périodique donc bornée.

Sa surface est estimée autour de 1,50659177 ± 0,00000008^[12].

Son centre de gravité est estimé à la position réelle -0,286 768 3 ± 0,000 000 1^[12].

La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre $\scriptstyle{A\left (\frac{1}{4},0\right )}$ et d'équation polaire $\scriptstyle{ \rho(\theta) = \frac{1}{2}\left (1 - \cos \theta \right ). \ }$ . On peut aussi citer le cercle de centre $\scriptstyle{B(-1;0)}$ et de rayon $\scriptstyle{1/4}$ .

Connexité

Adrien Douady et Hubbard ont montré, en 1985^[13], que l'ensemble était connexe. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandebrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans $\mathbb{C}$ du disque unité.

On conjecture que l'ensemble de Mandelbrot est localement connexe^[14]^,^[15]^,^[16].

Auto-similarité

Auto-similarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011 + 0,9563i.

Des copies de l'ensemble dans l'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot est auto-similaire dans le voisinage des points de Misiurewicz. Ces points sont denses sur toute la frontière de l'ensemble. On conjecture qu'il est également auto-similaire, à la limite, autour des points de Feigenbaum (ex : −1,401 155 ou −0,152 8 + 1,039 7 i)^[17].

Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences^[18].

L'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement auto-similaire.

Universalité

L'ensemble des points ne convergeant pas, pour une fonction cubique, par la méthode de Newton.

L'ensemble de Mandelbrot $M$ a un caractère universel pour de nombreuses fonctions holomorphes^[18]. Des copies de $M$ sont visibles sur les frontières de leurs bassins d'attraction, c'est-à-dire des ensembles des c pour lesquels les itérés $f(f(\dots f(z))))$ convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec des fonctions transcendantes:

$z \mapsto \cos(z)+c$ (fonction cosinus)
$z \mapsto e^{-z^2}+c$ (fonction de Gauss)

On retrouve également $M$ lors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles que $z\mapsto z^3+(\lambda-1)z-\lambda$ , par la méthode de Newton. L'ensemble des points $λ$ ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme de $M$ .

Là encore, l'auto-similarité n'est pas stricte.

Dimension de Hausdorff

La dimension de Hausdorff de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura^[19]. On ne sait pas si cette frontière a une mesure de Lebesgue (surface) positive.

Lien avec l'équation logistique

Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et le diagramme de bifurcation de l'équation logistique

Les paramètres de $M$ , dans l'intervalle réel [-2, 1/4], peuvent être mis en correspondance 1 pour 1 avec ceux de l'équation logistique :

$z\mapsto \lambda z(1-z),\quad \lambda\in[1,4].\,$

La correspondance étant donnée par:

$c = \frac\lambda2\left(1-\frac\lambda2\right).$

Lien avec les ensembles de Julia

L'ensemble de Mandelbrot M peut être défini comme l'ensemble c pour lesquels l'ensemble de Julia correspondant, $J c$ , est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entre $J c$ et M au voisinage de c, lorsque c appartient à la frontière de M^[20]

Bourgeons, antennes et périodicités

Bourgeons et périodicités

L'ensemble de Mandelbrot fait apparaître nombre de structures en forme de bourgeons entourant une structure principale en forme de cardioïde.

La cardioïde est l'ensemble des points $c$ qui convergent vers un point fixe (période 1). Ce sont les points de la forme $\scriptstyle{ c = \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)}$ pour tout $\scriptstyle{\mu}$ appartenant au disque unité.
Le bourgeon principal, à gauche de la cardioïde, lui est attaché au point $c = - 3 / 4$ . Il s'agit d'un disque centré en c=-1 et de rayon 1/4. Il s'agit de l'ensemble des points paramètres qui, à la limite, convergent vers un cycle de période 2.
Les autres bourgeons tangents à la cardioïde sont les points admettant d'autres périodicités. Pour tout nombre rationnel p/q, avec p et q premiers entre eux, Il existe un bourgeon presque circulaire tangent à la cardioïde au point $\scriptstyle{ c_{p/q} = \frac{e^{2\pi ip/q}}2\left(1-\frac{e^{2\pi ip/q}}2\right)}.$ Chacun de ces bourgeons est appelé « bourgeon p/q ». Il s'agit de l'ensemble des points paramètres convergeant vers un cycle de période q.
Enfin, chaque bourgeon porte lui-même des bourgeons, représentatifs d'un périodicité différente, selon le même schéma. Par exemple, le bourgeon à gauche du grand bourgeon de période 2 a une périodicité de période 4. Le bourgeon immédiatement à sa gauche est de période 8, puis 16, etc., suivant ainsi le motif de doublement de période du diagramme de bifurcation de l'équation logistique.

Antennes et périodicités

Les bourgeons sont également surmontés de filaments en forme d'antenne. Le nombre d'antennes est directement lié à la périodicité du bourgeon. Ainsi, compter le nombre d'antennes permet de déterminer la périodicité du bourgeon.

Dessiner l'ensemble

Il peut être démontré que dès que le module de z_n est strictement plus grand que 2 (z_n étant sous forme algébrique, quand x_n² + y_n²> 2²), la suite diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à 2 et qui sont donc en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Pour les points de l'ensemble de Mandelbrot, i.e. les nombres complexes c pour lesquels z _n ne tend pas vers l'infini, le calcul n'arrivera jamais à terme, donc il doit être arrêté après un certain nombre d'itérations déterminé par le programme. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.

Bien que cela n'ait aucune importance sur le plan mathématique, la plupart des programmes générant des fractales affichent les points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot dans différentes couleurs. La couleur attribuée à un point n'appartenant pas à l'ensemble dépend du nombre d'itérations au bout desquelles la suite correspondante est déclarée divergente vers l'infini (par exemple quand le module est strictement supérieur à deux). Cela donne plusieurs zones concentriques, qui entourent l'ensemble de Mandelbrot. Les plus éloignées sont constituées de points c pour lesquels la suite (z_n) tend « plus rapidement » vers l'infini. Ces différentes zones délimitent d'une manière plus ou moins précise l'ensemble de Mandelbrot.

Un zoom commenté

Cliquer sur cette image pour lancer l'animation

L'ensemble de Mandelbrot doit beaucoup sa popularité à la variété et la beauté de ses structures et à la profondeur infinie de ses détails, mais aussi à la possibilité de l'explorer soi-même à l'aide des nombreux logiciels aujourd'hui disponibles.

La séquence d'exploration commentée ci-dessous est un zoom profond vers la valeur de c = -0,743643887037151 + 0,13182590420533i, à travers nombre de motifs caractéristiques. Le rapport de grossissement entre la dernière et la première image est d'environ 60 milliards. La séquence entière (et sa suite jusqu'à un grossissement d'environ 10³⁰) peut être visionnée sur l'animation ci-contre.

Étape	Description
	L'ensemble de Mandelbrot initial. Si la dernière image était en taille réelle, cet ensemble de Mandelbrot aurait une taille de 3 millions de kilomètres et sa frontière présenterait une quantité astronomique de structures fractales. Nous allons zoomer sur la vallée située entre la cardioïde et le bourgeon principal.
	Cette vallée a été baptisée « vallée des hippocampes ».
	A gauche, des spirales doubles, à droite les « hippocampes ». Nous zoomons sur l'un d'eux.
	Un « hippocampe », tête en bas. Cet hippocampe est composé de 25 « antennes » consistant en 2 groupes de 12 et un filament relié à la cardioïde. Nous en déduisons que le bourgeon qui le porte a une périodicité de 25. Le point de rencontre de ces antennes est un « point de Misiurewicz (en) ». Sur la plus longue antenne, celle qui mène à la « queue » de l'hippocampe, on reconnaît une copie réduite de l'ensemble de Mandelbrot, appelée aussi « satellite ». Nous zoomons maintenant sur la queue de l'hippocampe.
	L'extrémité de la queue, enroulée en spirale, est aussi un point de Misiurewicz. Nous zoomons sur le haut de l'image.
	Une section de la queue. Cette structure complexe est composée d'un seul et unique chemin qui mène jusqu'à l'extrémité de la queue. L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble simplement connexe, ce qui signifie qu'il n'y a ni boucles, ni ilots. Zoomons vers le centre de l'image.
	Un deuxième « satellite » (ou « minibrot ») apparait, au cœur de ce carrefour. Un exemple d'auto-similarité : La frontière de l'ensemble de Mandelbrot contient une infinité de copies de lui-même. Quel que soit le lieu on l'on zoome on en trouvera toujours au moins un. Les deux spirales sont le début d'une série de couronnes concentriques, avec le satellite en son centre. Nous zoomons vers ce satellite.
	Chacune de ces couronnes est composée de spirales similaires. Leur nombre s'accroit en puissances de 2, un phénomène typique de l'environnement des satellites. Le chemin vers l'extrémité de la queue entre dans le satellite par le point d'inflexion de la cardioïde et ressort par l'extrémité son antenne.
	L'antenne du satellite. On peut distinguer plusieurs satellites du deuxième ordre. Zoomons en haut à droite de l'image.
	La « vallée des hippocampes » du satellite. Toutes les structures déjà rencontrées précédemment réapparaissent.
	Spirales doubles et hippocampes. Contrairement à la première vallée, celle-ci est peuplée, en plus, de légères structures spirales. Dans un satellite d'ordre n cohabitent n+1 types de structures différentes. Pour ce satellite d'ordre 1 coexistent donc 2 types de structures différentes. Nous zoomons sur une double spirale, à gauche de la vallée.
	Double-spirale avec satellites du deuxième ordre. Nous zoomons, maintenant, sur une des structures dentelées blanches en haut à droite de l'image.
	Ces structures légères rappellent celles de certains ensembles de Julia. Là encore, ce motif très torturé n'est constitué que d'un seul filament. Nous zoomons sur le « double-crochet » que l'on distingue à droite de l'image.
	Ce double crochet rappelle, encore une fois, la forme en spirale de la queue d'un hippocampe. Nous zoomons vers le motif central.
	Des îlots apparaissent, à la manière d'une poussière de Cantor. La forme générale est celle d'un ensemble de Julia J_c. Toutefois, contrairement à un ensemble de Julia, ces points sont tous connectés, car nous sommes toujours dans l'ensemble de Mandelbrot. La forme générale de cet ensemble n'est pas celle de l'ensemble de Julia associé à cette position. Il s'agit de l'ensemble de Julia que nous aurions obtenu si nous avions sélectionné, au début de notre exploration, un point à proximité d'une double spirale au lieu d'un hippocampe. Ces structures sont elles-mêmes connectées à une structure centrale que nous pourrions découvrir si nous poussions encore plus loin le grossissement. En théorie, le grossissement pourrait ainsi être infini, et faire découvrir sans cesse de nouvelles structures. Pour en voir davantage, cliquer sur l'animation en haut à droite de cette section.

Généralisations et variantes

Méthode Buddhabrot

L'ensemble de Mandelbrot peut être généralisé des puissances $d$ supérieures à 2 pour $\textstyle{z \mapsto z^d+c}$ . Ces généralisations sont parfois appelées « multibrot », mais pour certains auteurs (comme McMullen), le terme « ensemble de Mandelbrot » doit également désigner ces généralisations.

En 3 dimensions, il n'existe pas de structure de corps comparable à celle des nombres complexes, donc pas d'extension « naturelle ». Notons toutefois l'extension de Daniel White (2009) baptisée « Mandelbulb^[21]. »

En 4 dimensions, l'extension naturelle à l'ensemble des quaternions a été étudiée par JAR Holbmok en 1987^[22].

Une modification de la méthode de traçage, proposée par Melinda Green en 1993, mène à une variante baptisée « Buddhabrot »^[23]. Il présente la densité des points visités par les orbites de valeurs de c qui divergent, donc choisies à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot.

Logiciels générateurs de fractales

Plan tiré d'une vidéo d'un agrandissement progressif de l'ensemble de Mandelbrot

Vue fixe d'une vidéo d'agrandissement progressif sur 0.001643721971153 + 0.822467633298876i

Fractint (propriétaire - porté sur de nombreuses plates-formes)
ChaosPro - (propriétaire - pour Windows)
XaoS (Logiciel Libre - Licence GPL, pour Windows, Mac OS X, Linux et systèmes type Unix)
Gecif
Gnofract 4D - (puissant et rapide - pour Linux, FreeBSD ou Mac OS X)

Notes et références

↑ Voir à ce sujet : Jean-Pierre Louvet les fractales sur le site de futura-science
↑ Jean-Pierre Kahane, Adrien Douady sur le site de l'Académie des sciences
↑ (en) Robert Brooks et Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in « Riemann Surfaces and Related Topics », ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2
↑ (en) R.P. Taylor & J.C. Sprott, « Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers », Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1, Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, 2008. Consulté le 1 January 2009
↑ (en) Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto\lambda z(1-z)$ for complex $λ, z$ , Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259
↑ Adrien Douady et John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
↑ (en) Heinz-Otto Peitgen, The Beauty of Fractals, Heidelberg, Springer-Verlag, 1986 (ISBN 0-387-15851-0)
↑ Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe.
↑ (en) James Gleick, Chaos: Making a New Science, London, Cardinal, 1987, p. 229
↑ (en) A.K. Dewdney, A computer microscope zooms in for a close look at the most complicated object in mathematics, Scientific American, 1985, p. 16–24
↑ Fractals: The Patterns of Chaos. John Briggs. 1992. p. 80.
↑ ^{a et b} Mrob.com
↑ (en) A. Douady et J. Hubbard, « On the dynamics of polynomial-like mappings », Ann. Sci. Ecole Norm. Sup,, 18 (1985), 287-343.
↑ http://smf4.emath.fr/en/InfoDiverses/Carnet/Douady/DepecheAFP.html
↑ http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf
↑ http://www.academie-sciences.fr/membres/Y/Yoccoz_JC_bio.htm
↑ (en) J. Milnor, « Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set », dans Computers in Geometry and Topology, M. Tangora (editeur), Dekker, New York, p. 211-257.
↑ ^{a et b} (en) Curtis T. McMullen, « The Mandelbrot set is universal », 1998, abstract
↑ (en) Mitsuhiro Shishikura, The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets, Ann. of Math. 147 (1998) p. 225-267. (publication originale de 1991 Stony Brook IMS Preprint, également disponible à arXiv:math.DS/9201282.)
↑ Lei.pdf Tan Lei, « Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets », Communications in Mathematical Physics 134 (1990), pp. 587-617.
↑ variantes en 3D
↑ JAR Holbmok, Quaternionic Fatou-Julia sets, Ann. sc. math. Quebec, 1987
↑ Buddhabrot fractal method

Voir aussi

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Catégorie :

Fractale

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