Dynamique Holomorphe

Dynamique Holomorphe

Dynamique holomorphe

La dynamique holomorphe est un domaine de l'analyse complexe et des systèmes dynamiques s'intéressant principalement à l'étude de l'itération des applications holomorphes.

Sommaire

Historique

Dynamique holomorphe à une variable

L'étude de la dynamique des fonctions holomorphes à une variable est de loin la plus développée.

Afin d'établir les propriétés concernant la famille de fonctions (f^{\circ n})_{n\in \mathbb{N}}itérées de la fonction holomorphe f définie sur une variété complexe de dimension un, elle s'appuie sur les résultats de l'analyse complexe (principe du maximum, théorème des résidus, théorème de Montel, théorie des fonctions univalentes...), de la topologie générale, de la géométrie complexe (théorème d'uiformisation, hyperbolicité, théorie des applications quasi-conformes...) et de la dynamique générale.


La dualité famille normale/comportement instable qui sépare le plan dynamique en deux sous-ensembles localement discriminés en est un des faits importants. Cette dualité apparait grâce à la classification des points périodiques de la fonction f, c'est-à-dire les points z du domaine de définition pour lesquels il existe un entier p tel que f^{\circ p}(z)=z.

Introduction aux ensembles de Julia

Prenons p(z) un polynôme à une variable complexe z, c'est une fonction holomorphe sur \mathbb{C} (l'ensemble des nombres complexes). Alors, pour chaque point de départ z0 dans l'ensemble des nombres complexes, on construit la suite (zn)n des itérés définie par la formule de récurrence :

zn + 1 = p(zn).

Une question naturelle est celle de la convergence de la suite (zn)n, et plus généralement de son comportement (périodique, tendant vers l'infini...). On peut s'attendre, justement, à ce que le comportement de la suite dépende de la valeur initiale z0.

Par exemple, il est facile de voir que pour le polynôme p(z) = z2, si on prend une valeur initiale z0 telle que | z0 | > 1, alors la suite (zn)n, définie par la récurrence zn + 1 = p(zn) = (zn)2, tend vers l'infini (i.e. \lim_{n\rightarrow\infty}|z_n|=\infty. De façon plus générale, on peut montrer que pour tout polynôme p, il existe un rayon R tel que si | z0 | > R, alors la suite des itérés de p issue de z0 tend vers l'infini.

L'ensemble des points z_0\in\mathbb{C} tels que la suite des itérés de p issue de z0 tend vers l'infini est appelé bassin d'attraction de l'infini. Son complémentaire, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs initiales z0 pour lesquelles la suite (zn)n ne tend pas vers l'infini, est appelé ensemble de Julia rempli.

Pour la fonction de l'exemple précédent p(z) = z2, l'ensemble de Julia rempli est le disque centré en zéro de rayon 1 et son complémentaire le bassin de l'inifini.

L'ensemble de Julia est alors le bord de l'ensemble de Julia rempli, c'est-à-dire sa frontière topologique. Pour ce qui est de z2, son ensemble de Julia est simplement le cercle centré en zéro de rayon 1, cependant la "forme" des ensembles de Julia dépend évidemment de la fonction que l'on considére et est souvent bien plus complexe.

Autres exemples

Un autre exemple d'ensemble de Julia assez "simple" est celui du polynôme de Tchiébychioff z2 − 2 : c'est l'intervalle [ − 2,2].

D'autres ensembles de Julia non "lisses" ont un nom (voir illustrations) :

  • l'ensemble de Julia du polynôme z2 + z est appelé "chou-fleur",
  • le lapin de Douady, représenté (entre autres) par la fonction z2 + + 0.123 + 0.754i,
  • la dendrite (z2 + i).

Ces ensembles sont, comme c'est le cas pour la plupart des ensembles de Julia, des fractales.

D'autres encore, sont des poussières de Cantor (par exemple z2 + 6i), des tapis de Sierpinsky, etc.

Caractérisation

Le complémentaire de l'ensemble de Julia d'une fonction holomorphe f (ici un polynôme) est un ouvert F, appelé ensemble de Fatou. Cet ouvert est caratérisé pas le fait que la suite de fonction (f^{\circ n})_n, où f^{\circ n} désigne le nième iétéré de la fonction f (i.e. f^{\circ n} = f\circ \cdots \circ f n fois), admet, pour tout compact K inclus dans F, des sous-suites uniformément convergentes sur K. On dit alors que (f^{\circ n})_n forme une famille normale sur F.

Théorie locale

L'étude locale se fait au voisinage des points périodiques de f. Pour un tel point z0, il existe donc un entier naturel positif p tel que f^{\circ p}(z_0)=z_0. L'ensemble des images par f de ce point, qui est un ensemble fini à p éléments \{z_0,z_1,\dots,z_{p-1}\} sur lequel f agit en tant qu'incrémentation d'indice modulo p (i.e. f(x_{k})=x_{(k+1)\mod\, p}), est appelé un cycle périodique de f.


La dérivée de f^{\circ p} en un point du cycle périodique \{z_0,z_1,\dots,z_{p-1}\} ne dépend ni point du cycle ni des cartes dans lesquelles elle est calculée. On définit le multiplicateur d'un cycle périodique comme étant la valeur \rho=(f^{\circ p})'(z_0) de cette dérivée. Lorsque ce calcul peut se faire sur une seule carte on a \rho =f'(z_0)f'(z_1)\cdots f'(z_{p-1}).


C'est de la valeur de ρ qu'on va déduire ce qu'il se passe au voisinage des points zi. L'idée principale est que l'on peut localement substituer à f^{\circ p} le début de son développement :

f^{\circ p}(z_0+z) = z_0 + \rho z +\dots ,

ou, si ρ = 0 :

f^{\circ p}(z_0+z) = z_0 + a_q z^q +\dots ,

avec a_q\neq 0.

(...)

Théorie globale

Dynamique des polynômes

L'ensemble de Mandelbrot

Dynamique des fractions rationnelles

Dynamique des fonctions transcendantes

Espaces à paramètres

Théorie du potentiel en dynamique holomorphe

Dynamique holomorphe à plusieurs variables

Voir aussi


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