Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot
Image illustrative de l'article Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot, en 2007
Naissance 20 novembre 1924
Varsovie (Pologne)
Décès 14 octobre 2010 (à 85 ans)
Cambridge, Massachusetts (États-Unis)
Nationalité Franco-américain
Champs Mathématiques, théorie de l'information
Institution Université Yale
International Business Machines (IBM)
Diplômé de École polytechnique
California Institute of Technology
Renommé pour Ensemble de Mandelbrot
Fractales
Distinctions Médaille Franklin (1986)
Prix Wolf (1993)
Prix japonais (2003)

Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 à Cambridge, dans le Massachusetts[1]. Il a travaillé, au début de sa carrière, sur des applications originales de la théorie de linformation, puis développé ensuite une nouvelle classe dobjets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

Sommaire

Biographie

Mandelbrot est à Varsovie, dans une famille juive dorigine lituanienne, dun père revendeur de vêtements et dune mère médecin. Son oncle Szolem Mandelbrojt était professeur de mathématiques au Collège de France. Sa famille a quitté la Pologne pour Paris afin de fuir la menace hitlérienne. Cest à Paris quil fut initié aux mathématiques par deux oncles. Linvasion allemande force la famille à se réfugier ensuite à Brive-la-Gaillarde, il est aidé, pour la continuation de ses études, par le rabbin David Feuerwerker. Après avoir fréquenté le lycée Edmond-Perrier de Tulle, il poursuit ses études au lycée du Parc, à Lyon.

Années de jeunesse : un départ brillant

Après avoir quitté lÉcole polytechnique (promotion 1944), il a suivi les cours dun spécialiste du calcul des probabilités (Paul Lévy), il sintéresse aux phénomènes dinformation, les idées de Claude Shannon étant alors en plein essor. Intrigué par la loi de Zipf, empirique et contestée, il la pose en termes de minimisation des coûts de stockage et dutilisation des mots par lesprit. Par élimination de la variable de coût entre les deux équations, se révèle une loi qui na, cette fois-ci, plus rien dempirique : cest la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf nest quun cas particulier, et qui répond mieux quelle aux observations (expliquant en particulier le coude toujours observé dans les distributions, et non expliqué par la loi de Zipf). Ce travail lui vaut une notoriété immédiate, en particulier grâce à un ouvrage de Léon Brillouin : Science et théorie de linformation, qui aura dailleurs un succès bien plus grand dans sa traduction anglaise : Science and information theory (les conventions typographiques catastrophiques de louvrage français ny sont pas étrangères[réfnécessaire]).

La traversée de l'océan

Il quitte alors la France une année, vers la Californie, mais y revient en 1949, jusquen 1958, époque il retourne à nouveau aux États-Unis dAmérique, attiré, daprès lui, par une plus grande liberté de créativité, non restreinte à une seule discipline précise. Il travaille comme chercheur chez IBM sur la transmission optimale dans les milieux bruités, tout en poursuivant son travail sur des objets étranges jusque- assez négligés par les mathématiciens : les objets à complexité récursivement définie, comme la courbe de Von Koch, auxquels il pressent une unité. Le mathématicien Felix Hausdorff a dailleurs préparé le terrain en définissant pour ces objets une dimension non-entière, la dimension de Hausdorff. Quant au mathématicien Gaston Julia, il a défini des objets qui ont un air de famille avec le tout.

Un nouveau paradigme

Frontière de lensemble de Mandelbrot (détail).
Les inflorescences fractales dun chou romanesco.

Il signe en 1973 dans une revue déconomie larticle Formes nouvelles du hasard dans les sciences[2]. Cet article critique le manque dintérêt des chercheurs de nombreuses disciplines pour les fluctuations aléatoires, se cantonnant trop à étudier les moyennes à long terme. Il cite des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.

Il arrive à la conclusion quil ny a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il sagit dune illusion due au fait que nous nétudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch quils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont considérés comme des objets acceptables par les mathématiciens de lépoque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins en tant quobjets géométriques). Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres. Pas étonnant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient considérées comme ayant un immense pouvoir dexplication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes quelles permettent dexpliquer ! Nous sommes pris dans le piège dun argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.

Or, ajoute Mandelbrot, « cest lessentiel des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard lon ne peut appliquer la loi des grands nombres ». Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusquà nous empêcher même de la voir.

En 1967 il citait déjà comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier, dans son célèbre article How Long Is the Coast of Britain(en), la côte de Grande-Bretagne, dont la longueur dépend de léchelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne constitue à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et cest en acceptant lidée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est, dès cet article, officieusement lancée.

Les principes en seront publiés avec une très grande quantité dexemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe dOlbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même trous de lAppenzeller) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqualors peu connus : flocon de Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que lauteur nomme une homothétie déchelle et quil désignera quelques années plus tard sous le nom dautosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons déconomie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse dimages complexes, on nen verra plus quen couleurs.

Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), définies par la relation de récurrence zn+1 = zn2 + c, c étant un nombre complexe quelconque.

Son travail sur les fractales en tant que mathématicien à IBM lui a valu un Emeritus Fellowship au laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur, Richard Voss. Il a été lauréat de la médaille Franklin en 1986.

Il a également montré qu'un grand nombre dobjets dans la nature étaient bien décrits par des fractales, conduisant ainsi à de nouveaux terrains de recherche. Des fractales se retrouvent également dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Professeur à luniversité Yale (1987), conférencier au Conservatoire national des arts et métiers (1994, 2000).

Le 23 novembre 1990, il est fait chevalier de la Légion dhonneur, et est promu officier le 1er janvier 2006, une distinction qui lui est remise le 11 septembre 2006 par son camarade de promotion à lÉcole polytechnique, le sénateur Pierre Laffitte[3].

La finance

Analyse simplifiée dun marché.

Benoît Mandelbrot est également à lorigine en 1961 dun modèle dévolution des cours de la bourse basée sur la géométrie fractale. Cette théorie financière a lavantage de mieux détecter la survenue des variations extrêmes, ce que ne permet pas lusage de lanalyse technique basée sur la théorie de Dow. Dabord reconnue pertinente, elle a été ensuite mise de côté pour cause de complexité, avant dêtre réutilisée depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières.

En 1997, Mandelbrot propose un nouveau modèle plus précis en supprimant les sauts de Lévy par des processus la discontinuité satténue sur le long terme et intègre leffet de mémoire des fluctuations boursières. Il introduit un temps « multifractal » pour décrire les alternances de périodes calmes et agitées observées sur les marchés financiers : lamplitude des variations peut rester indépendante dun jour à lautre tout en étant corrélée sur de très longues périodes de temps[4]

En 2004, il a publié Une approche fractale des marchés dans lequel il dénonce les outils mathématiques de la finance parce quil les juge inadaptés[5]. Cette même année, il avait demandé, sans succès, que les banques et les grandes institutions financières consacrent une petite partie de leur budget à la recherche fondamentale[5].

Benoît Mandelbrot est en particulier très critique sur la théorie de Merton, Black et Scholes[5] utilisée par les banques, parce que, selon lui, elle ne prend pas en compte les changements de prix instantanés et des informations essentielles[5], faussant ainsi les moyennes.

Le récit

En 1994, dans La Dramaturgie, Yves Lavandier affirme que la théorie fractale sapplique à merveille aux mécanismes du récit. La forme simple protagoniste-objectif-obstacles se retrouve à différentes échelles : la série, lœuvre unitaire, lacte logistique, lacte dramatique, la séquence, la scène, jusquà certains dialogues. Cest la spécificité de chaque composant et la combinaison de milliers de formes simples qui donnent à chaque récit son caractère unique et son apparente originalité.

Bibliographie

  • Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, trad., Flammarion, 1973.
  • Les Objets fractals, survol du langage fractal, Flammarion, 1975, 1984, 1989, 1995.
  • (en) The Fractal Geometry of Nature, Benoît Mandelbrot, 1982.
  • Fractales, hasard et finance, Flammarion, 1959, 1997.
  • (en) The (Mis)Behaviour of Markets, Benoît Mandelbrot, Profile Books, 2004.
  • Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.

Notes et références

  1. (en)Benoit Mandelbrot, Mathematician, Dies at 85, New York Times, publié le 16 octobre 2010.
  2. Mandelbrot Benoît, Formes nouvelles du hasard dans les sciences, Économie appliquée, vol. 26, 1973, p. 307-319.
  3. PREX0508911D.
  4. Jouer en Bourse, cest vraiment risqué : « Le grand bluff des modèles financiers », Aurélien Prévost, Science et Vie, no 1068, septembre 2006, page 112.
  5. a, b, c et d Interview de Benoît Mandelbrot par Annie Kahn - « Benoît Mandelbrot : Il était inévitable que des choses très graves se produisent », Le Monde, 17 octobre 2009.

Voir aussi

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