Double Produit De Quaternions

Double Produit De Quaternions: Double produit de quaternions

Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :
$P = Q_1\cdot Q_2\cdot Q_3\,$ ,
dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.

Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes $Q_1\mbox{ et }Q_3\,$ sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type $Q = (a\ ,\ \vec V)\,$ pour représenter les 3 quaternions :

$P = Q_1\cdot Q \cdot Q^{-1}_1 = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)^{-1}$
$P = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|^2} = \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|}\,$
.

Comme les quaternions $\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\vec V_1)$ et son inverse $\frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,-\vec V_1)$ sont unitaires, on peut les écrire sous la forme $Q_1 = \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi\ \vec U \right )$ et $Q^{-1}_1 = \left (cos \varphi\ , -\sin \varphi\ \vec U \right )\,$ , d'où l'écriture :

$P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

$P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

Ainsi le quaternion $P\,$ se décompose en $P_1 + P_2\,$ avec :
$P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$ et
$P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$

Comme $(a\ ,\ \vec 0)\,$ est un scalaire pur, le double produit représenté par $P_1\,$ est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
$P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0)$ .
Par conséquent, on a :
$P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\,$ avec $P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)$ .

Portons donc notre attention sur le quaternion $P_2\,$ en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
$P_2 = \left[-\sin \varphi\ (\vec U\cdot \vec V), \cos \varphi\ \vec V+\sin \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\right]\cdot \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\ \vec U\right]$ , puis :

$\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix}$

En éliminant le produit mixte $(\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U$ (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel $(\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U$ , on obtient : $P_2 = \Bigg[0 \ ,\ \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +\ \cos^2\varphi\ \vec V + 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) - sin^2\varphi\ \left[(\vec U\cdot \vec U)\ \vec V - (\vec V\cdot \vec U)\ \vec U \right]\Bigg]$
puis successivement :
$P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]$
$P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]$
$P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]$

Ainsi, il est établi que si le vecteur $\vec U\,$ est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :
$(\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0) + \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]$ ,
Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :
$\cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)]$ ,
on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur $\vec V\,$ dans la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]$ d'angle $2\,\varphi\,$ et d'axe orienté $\vec U$ normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante :

Conclusion

Dans la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right]$ d'angle $2\,\varphi\,$ et d'axe orienté $\vec U$ normé,

le transformé $\vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\,$ de tout vecteur $\vec V\,$ peut être calculé :

soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :

$\left(0 \ ,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)\ \ \ \,$ (formule n° 1)

soit grâce à l'égalité vectorielle :

$\mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V) = \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\ \ \ \,$ (formule n° 2)

Articles de mathématiques en rapport avec la notion de nombre

Définition des nombres · Entiers naturels · Entiers relatifs · Nombres transfinis · Nombres décimaux · Nombres rationnels · Nombres constructibles · Nombres algébriques · Nombres transcendants · Nombres calculables · Nombres réels · Nombres complexes · Nombres hypercomplexes · Quaternions · Octonions · Sédénions · Nombres hyperréels · Nombres surréels · Nombres ordinaux · Nombres cardinaux · Nombres p-adiques · Nombres normaux · Suite d'entiers · Constantes mathématiques · Grands nombres · Infiniments petits · Infini

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Double produit de quaternions ».

Catégories : Nombre hypercomplexe | Algèbre

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Double Produit De Quaternions de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Double produit de quaternions — Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c est à dire une expression de la forme : , dans laquelle il n est pas nécessaire d écrire des parenthèses puisque le produit est associatif. Intéressons nous au cas particulier… … Wikipédia en Français
Double produit vectoriel — Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d analyse vectorielle écrit par Josiah … Wikipédia en Français
Produit vectoriel et algèbre — Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d analyse vectorielle écrit par Josiah … Wikipédia en Français
Produit vectoriel — En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1],[2]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel… … Wikipédia en Français
Quaternions et rotation dans l'espace — Les quaternions unitaires fournissent une notation mathématique commode pour représenter l orientation et la rotation d objets en trois dimensions. Comparés aux angles d Euler, ils sont plus simple à composer et évitent le problème du blocage de… … Wikipédia en Français
Produit vectoriel en dimension 7 — En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le produit vectoriel en dimension 7 est une loi de composition interne d un espace euclidien à 7 dimensions, ayant certaines propriétés du produit vectoriel usuel (en dimension 3) ;… … Wikipédia en Français
Quaternion — Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). « Ici, le 16 octobre 1843, alors qu il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la… … Wikipédia en Français
ℍ — Quaternion Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). « Ici, le 16 octobre 1843, alors qu il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la… … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Double Produit De Quaternions

Double produit de quaternions

Conclusion

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Double Produit De Quaternions

Double produit de quaternions

Conclusion

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link