- Double produit de quaternions
-
Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :
,
dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.
Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes
sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type
pour représenter les 3 quaternions :
.
Comme les quaternions
et son inverse
sont unitaires, on peut les écrire sous la forme
et
, d'où l'écriture :
En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :Ainsi le quaternion
se décompose en
avec :
et
Commeest un scalaire pur, le double produit représenté par
est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
.
Par conséquent, on a :
avec
.
Portons donc notre attention sur le quaternion
en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
, puis :
En éliminant le produit mixte(qui est nul) et en développant le double produit vectoriel
, on obtient :
puis successivement :
Ainsi, il est établi que si le vecteurest unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :
,
Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :
,
on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur
dans la rotation
d'angle
et d'axe orienté
normé.
De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante.
Conclusion
Dans la rotation
d'angle
et d'axe orienté
normé,
le transforméde tout vecteur
peut être calculé :
- soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :
(formule n° 1)
- soit grâce à l'égalité vectorielle :
(formule n° 2)
Wikimedia Foundation. 2010.