Double produit de quaternions

Double produit de quaternions

Il est possible de calculer un double produit de quaternions, c'est-à-dire une expression de la forme :

P = Q_1\cdot Q_2\cdot Q_3\,,

dans laquelle il n'est pas nécessaire d'écrire des parenthèses puisque le produit est associatif.


Intéressons-nous au cas particulier dans lequel les quaternions extrêmes Q_1\mbox{ et }Q_3\, sont inverses l'un de l'autre et utilisons les notations de type Q = (a\ ,\ \vec V)\, pour représenter les 3 quaternions :


P = Q_1\cdot Q \cdot Q^{-1}_1 = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)^{-1}
P = (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|^2} = \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\ \vec V_1)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (a_1\ ,\ -\vec V_1)\cdot \frac{1}{\|Q_1\|}\,

.

Comme les quaternions \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,\vec V_1) et son inverse \frac{1}{\|Q_1\|}\cdot (a_1\ ,-\vec V_1) sont unitaires, on peut les écrire sous la forme Q_1 = \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi\ \vec U \right ) et Q^{-1}_1 = \left (cos \varphi\ , -\sin \varphi\ \vec U \right )\,, d'où l'écriture :

P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)



En tenant compte de la distributivité du produit, on peut écrire :

P = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) + (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)

Ainsi le quaternion P\, se décompose en P_1 + P_2\, avec :
P_1 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec 0)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) et
P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)


Comme (a\ ,\ \vec 0)\, est un scalaire pur, le double produit représenté par P_1\, est commutatif et peut s'écrire plus simplement :
P_1 = (a\ ,\ \vec 0) \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0)\cdot (1, \vec 0) = (a\ ,\ \vec 0).
Par conséquent, on a :
P = (a\ ,\ \vec 0) + P_2\, avec P_2 = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U).


Portons donc notre attention sur le quaternion P_2\, en développant d'abord le premier produit, puis le second ; il vient d'abord :
P_2 = \left[-\sin \varphi\ (\vec U\cdot \vec V), \cos \varphi\ \vec V+\sin \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\right]\cdot \left[\cos \varphi, -\sin \varphi\ \vec U\right], puis :


\begin{matrix}P_2 = \big[ &-&\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\cdot \vec V) &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\cdot \vec U) &+& \sin^2 \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U,&\ \\\ &+& \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U &+& \cos^2\varphi\ \vec V &+& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V)&\ \\&-& \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec V\wedge\vec U) &-& \sin^2\varphi\ (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U&\ &\ &\big] \end{matrix}


En éliminant le produit mixte (\vec U\wedge\vec V)\cdot \vec U (qui est nul) et en développant le double produit vectoriel (\vec U\wedge \vec V)\wedge \vec U, on obtient : P_2 = \Bigg[0 \ ,\ \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U +\ \cos^2\varphi\ \vec V + 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) - sin^2\varphi\ \left[(\vec U\cdot \vec U)\ \vec V - (\vec V\cdot \vec U)\ \vec U \right]\Bigg]
puis successivement :
P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec U)\right]\,\vec V\ +\ 2\sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]
P_2 = \Bigg[0 \ ,\ 2\sin^2\varphi\ (\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \left[\cos^2\varphi\ - \sin^2\varphi\right]\vec V\ +\ 2\ \sin \varphi\ \cos \varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \Bigg]
P_2 = \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right]


Ainsi, il est établi que si le vecteur \vec U\, est unitaire, l'égalité suivante est toujours vérifiée :

(\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (a\ ,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U) = (a\ ,\ \vec 0) + \left[0 \ ,\ \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V) \right],

Or, dans l'expression qui apparaît dans la composante vectorielle du deuxième quaternion du membre de droite de cette égalité, à savoir :

\cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)],

on peut reconnaître l'expression vectorielle du vecteur transformé du vecteur \vec V\, dans la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right] d'angle 2\,\varphi\, et d'axe orienté \vec U normé.

De la démonstration précédente, on peut tirer l'importante conclusion générale suivante.

Conclusion

Dans la rotation \mathbf R\left[2\,\varphi\,\,; \vec U\right] d'angle 2\,\varphi\, et d'axe orienté \vec U normé,

le transformé \vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\, de tout vecteur \vec V\, peut être calculé :

  • soit grâce à l'égalité quaternionique suivante :
\left(0 \ ,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi, \sin \varphi \ \vec U)\cdot (0,\ \vec V)\cdot (\cos \varphi, -\sin \varphi \ \vec U)\ \ \ \,      (formule n° 1)
  • soit grâce à l'égalité vectorielle :

\mathbf R_{\left[2\varphi, \vec U\right]}(\vec V) = \cos 2\,\varphi\ \, \vec V\ + \ (1-\cos 2\,\varphi)\,(\vec U\cdot \vec V)\ \vec U + \ \sin 2\,\varphi\ (\vec U\wedge\vec V)\ \ \ \,      (formule n° 2)

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Double produit de quaternions de Wikipédia en français (auteurs)

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