- Divergence D'un Tenseur
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Divergence d'un tenseur
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Tenseur des déformationsArticles connexesPortail des MathématiquesPortail de la PhysiqueLa divergence d'un tenseur est le tenseur obtenu en contractant un des indices de la dérivée covariante avec l'indice de dérivation. Pour une présentation plus générale de l'opérateur de divergence, on se réfèrera à l'article divergence (mathématiques).
Sommaire
Divergence d'un vecteur
Pour un champ vectoriel , on a
Mettant à profit la formule de contraction
, on a
. Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement la divergence dans un système de coordonnées quelconque.
En coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut rsinθ et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit
. Dans la base naturelle, on a
et donc dans la base orthonormée :
En coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques, la racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut r et la divergence d'un champ de vecteurs s'écrit
. Dans la base naturelle, on a
et donc dans la base orthonormée :
Divergence d'un tenseur d'ordre 2
Suivant le même chemin que pour la divergence d'un champ de vecteurs, on écrit
Divergence d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2
Dans le cas d'un tenseur antisymétrique, on a
En effet, le terme est nul puisque
. Remarques
En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.
Voir aussi
Catégorie : Calcul tensoriel
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