Corps des fractions

Corps des fractions

En théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau intègre A est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant A.

Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à un anneau de polynômes, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles.

Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation.

Sommaire

Construction

On définit sur E = A × A\{0} deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois :

  • une pseudo-addition : pour tout (a , b) et (c , d) de E , (a , b) + (c , d) = (ad + cb , bd)
  • une pseudo-multiplication : pour tout (a , b) et (c , d) de E, (a , b) . (c , d) = (ac , bd)
  • une relation : pour tout (a , b) et (c , d) de E, (a , b) ~ (c , d) ssi ad = bc.

L'existence des deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut que le produit bd soit non nul. Dans ce cas, les deux lois de composition interne sont bien définies, commutatives (d'après la commutativité du produit sur A) et associatives.

Elles ne possèdent un élément neutre que si l'anneau est unitaire (il s'agit dans ce cas de (0, 1) pour la première et (1, 1) pour la seconde) et même dans ce cas, si l'anneau n'est pas déjà un corps, il existe des éléments sans inverse pour aucune des deux lois construites sur E. Enfin, il n'y a pas de distributivité de la seconde loi sur la première.

La relation ~ définie par (a , b) ~ (c , d) si ad = bc est bien symétrique, réflexive et transitive par hypothèse d'intégrité. Elle est de plus compatible avec les deux lois, c'est-à-dire que la classe du résultat de la pseudo-multiplication (ou de la pseudo-addition) ne dépend que des classes des opérandes. Autrement dit, les lois de composition peuvent être appliquées aux classes d'équivalence sans tenir compte du choix du représentant.

La classe d'un couple (a , b) se note usuellement \frac{a}{b} et est appelée fraction.

L'ensemble quotient, noté K(A) est muni des lois de composition induites (addition et multiplication).

Propriétés

Corps

K(A) est alors un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il possède les propriétés suivantes (on fixe un élément non nul quelconque x de A) :

  • simplification de fraction : pour tout c non nul, \frac{ca}{cb}=\frac{a}{b} ;
  • commutativité et associativité des lois induites ;
  • existence d'un neutre \frac{0}{x} pour la première loi
\frac ab + \frac 0x = \frac{ax}{bx} = \frac ab
  • existence d'une unité \frac{x}{x} neutre pour la seconde ;
\frac ab \times \frac cc = \frac{ac}{bc} = \frac ab
  • existence d'un opposé \frac{-a}{b} pour tout élément \frac{a}{b} ;
\frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{0}{b^2}
  • existence d'un inverse \frac{b}{a} pour tout élément non nul \frac{a}{b} ;
\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}= \frac{ab}{ab}
  • distributivité de la multiplication sur l'addition :
\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf + cebf}{bfdf} = \frac{(ad + cb)e}{bdf}=(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\frac{e}{f}

Plongement

Si l'anneau A est unitaire, l'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a, associe \frac{a}{1} est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions.

Si l'anneau A n'est pas unitaire, on choisit un élément e non nul de A. L'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a associe \frac{ae}{e} est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions. Cette application ne dépend pas de l'élément e non nul choisi.

Propriété universelle

Pour tout corps L et tout morphisme injectif d'anneaux f \,de A dans L, il existe un unique morphisme de corps \tilde f de K(A) dans L tel que f = \tilde f \circ i

diagramme commutatif

La seule façon de créer \tilde f est de définir \tilde f \left(\frac{a}{b}\right) par \tilde f \left(\frac{ae}{e}\right).\left( \tilde f \left(\frac{be}{e}\right) \right)^{-1} = \frac{f(a)}{f(b)}, où e est un élément non nul fixé de A. Il suffit ensuite de prouver que cette construction est indépendante du représentant choisi et que \tilde f est bien un morphisme injectif.

Unicité

D'après la propriété universelle, K(A) est le plus petit corps contenant A, au sens suivant : si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(A) dans L.

Exemple

La construction des nombres rationnels consiste à définir le corps Q des nombres rationnels comme le corps des fractions de l'anneau Z des entiers relatifs.

Généralisation

Si l'anneau est commutatif mais n'est pas intègre, il n'a plus un corps des fractions mais un anneau total des fractions. Cet anneau de fractions est défini comme le localisé S-1A de A en le sous-ensemble S des éléments qui sont réguliers, c'est-à-dire qui ne sont pas des diviseurs de zéro.

Références

  • Cours de mathématiques-(tome I) Jacqueline-Lelong Ferrand et Jean-Marie Arnaudies. Editions Bordas
  • Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre II, § 2


v · Théorie des anneaux
Anneau unitaire • Anneau commutatif • Corps des fractions • Idéal • Anneau principal • Anneau euclidien • Anneau factoriel • Anneau noethérien • Anneau artinien • Algèbre sur un anneau • Module • Module monogène • Module libre • Facteur direct • Module quotient • Dual d'un module • Annulateur • Produit tensoriel • Puissance extérieure • Bimodule • Module simple • Module semi-simple • Longueur d'un module • Module projectif • Module injectif • Module plat • Module fidèle • Module artinien

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Corps des fractions de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Corps Des Fractions — En théorie des anneaux, le corps des fractions d un anneau commutatif intègre (non nul) A est le plus petit corps (à isomorphisme près) contenant A. Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à… …   Wikipédia en Français

  • Corps des fractions de l'anneau Z — ● Corps des fractions de l anneau Z corps Q des rationnels. (→ Q.) …   Encyclopédie Universelle

  • Corps des réels — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • CORPS (mathématiques) — La structure de corps n’est en fait qu’un cas particulier de la structure plus générale d’anneau [cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0.… …   Encyclopédie Universelle

  • Corps (Mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Corps. En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un corps est une structure algébrique. De manière informelle, un corps est un ensemble dans lequel il est possible d effectuer des additions, des… …   Wikipédia en Français

  • Corps (mathématique) — Corps (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Corps. En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un corps est une structure algébrique. De manière informelle, un corps est un ensemble dans lequel il est possible d effectuer des… …   Wikipédia en Français

  • Corps Différentiel — La notion de corps différentiel permet de formaliser la notion de dérivation de fonctions, en vue de construire une théorie de Galois différentielle. Un corps différentiel est un cas particulier d anneau différentiel. Définition Un corps… …   Wikipédia en Français

  • Corps differentiel — Corps différentiel La notion de corps différentiel permet de formaliser la notion de dérivation de fonctions, en vue de construire une théorie de Galois différentielle. Un corps différentiel est un cas particulier d anneau différentiel.… …   Wikipédia en Français

  • Corps Parfait — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables. Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les …   Wikipédia en Français

  • Corps Quadratique — Entier quadratique Pour les articles homonymes, voir Entier (homonymie). En mathématiques, un entier quadratique est un nombre réel ou complexe racine d un polynôme du second degré à coefficients dans les nombres entiers et dont le coefficient du …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”