Diviseurs de zéro

Diviseur de zéro

En mathématiques, un diviseur de zéro est un élément d'un anneau différent de l'élément neutre pour la première loi tel que la composition de cet élément par la deuxième loi avec un autre élément différent du neutre pour la première loi puisse donner cet élément neutre.

Définition formelle

Soient $(A,+,\times)$ un anneau et $a\in A$ tel que $a \neq 0_A$ , où $0 A$ est l'élément neutre de la loi $+$ .

On dit que $a$ est un diviseur de zéro à gauche dans $A$ si et seulement si

$\exists b \in A,\ b \neq 0 \quad \mathrm{et} \quad a \times b=0_A$

On dit que $a$ est un diviseur de zéro à droite dans $A$ si et seulement si

$\exists c \in A,\ c \neq 0 \quad \mathrm{et} \quad c \times a=0_A$

On dit que $a$ est un diviseur de zéro dans $A$ si et seulement si $a$ est un diviseur de zéro à gauche dans $A$ et un diviseur de zéro à droite dans $A$ .

Un élément de $A$ qui n'est pas un diviseur de zéro est dit régulier.

Un diviseur de zéro ne peut pas être inversible, en particulier, un anneau admettant un diviseur de zéro ne peut pas être un corps. En effet, soit $a$ est un élément d'un anneau $(A,+,\times)$ diviseur de zéro. On suppose que $a$ est inversible. Alors par définition il existe $b \in A$ non nul tel que $a\times b=0_A$ , et en composant par $a - 1$ à gauche il vient $b = 0 A$ , contradiction.

Anneau intègre

Article détaillé : anneau intègre.

Soit $(A,+,\times)$ un anneau. Il est dit anneau intègre si et seulement s'il est non réduit à l'élément neutre et il n'admet aucun diviseur de zéro.

Exemples

Entiers relatifs et nombres réels

L'anneau $\mathbb Z$ des entiers relatifs ne contient aucun diviseur de zéro, ainsi que le corps des nombres rationnels, ou réels, ou complexes (tout corps de manière générale).

Anneau Z/nZ

Dans l'anneau $\mathbb Z/6\mathbb Z$ , la classe de 4 est un diviseur de zéro, car $4\times 3$ est congru à 0 modulo 6, alors que 3 et 4 ne sont pas congrus à 0 modulo 6.

Plus généralement, dans l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , les diviseurs de zéro sont exactement les classes modulo $n$ des entiers relatifs qui ne sont pas premiers avec $n$ . Cette affirmation est une simple reformulation du théorème de Bachet-Bézout.

Matrices

L’anneau $\mathcal M_2(\mathbb R)$ des matrices carrées à deux lignes et deux colonnes réelles contient des diviseurs de zéro. Par exemple, la matrice

$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$

est un diviseur de zéro, en effet elle est non nulle, et nous avons

$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Plus généralement les diviseurs de zéro à droite dans $\mathcal{M}_n(R)$ sont les matrices non surjectives et les diviseurs à gauche les matrices non injectives.

Algèbre de fonctions

L'ensemble des fonctions de $\R$ dans lui-même est un anneau qui admet des diviseurs de zéro. En effet si nous prenons la fonction caractéristique des rationnels ainsi que la fonction caractéristique des irrationnels, il est clair que ces deux fonctions sont différentes de la fonction nulle, pourtant leur produit donne bien la fonction nulle, car un nombre réel est rationnel ou bien irrationnel.

Plus généralement, si $A$ est une algèbre, désignons par $A X$ l'algèbre des fonctions $X\longrightarrow A$ , où $X$ est un ensemble non vide quelconque. Les diviseurs de zéro de $A X$ sont exactement les fonctions non nulles admettant zéro ou un diviseur de zéro dans leur image.

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