Module artinien
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En théorie des anneaux, un module artinien (du nom d'Emil Artin) est un module vérifiant la condition des chaines décroissantes. C'est une sorte de généralisation des espaces vectoriels de dimension finie.
Définition
On dit qu'un module M vérifie la condition des chaines décroissantes si toute suite décroissante de sous-modules de M est stationnaire. Cela équivaut à dire que toute partie non vide de sous-modules de M admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).
Exemples
- Tout groupe commutatif fini est artinien (en tant que ℤ-module).
- Tout espace vectoriel de dimension finie sur un corps k est artinien comme k-module.
- Soit p un nombre premier. Dans le groupe quotient ℚ/ℤ, le sous-groupe des éléments d'ordre une puissance de p est un ℤ-module artinien (ses sous-groupes sont lui-même ou des groupes finis).
- Supposons A noethérien. Soit I un idéal maximal de A. Alors A/In, où n est un entier strictement positif, est un A-module artinien.
Propriétés
- La classe des modules artiniens (sur un anneau donné) est stable par quotient et somme directe finie.
- Si 0→L→M→N→0 est une suite exacte de modules, alors M est artinien si et seulement si L et N le sont.
- Un module artinien est noethérien si et seulement s'il est de longueur finie.
Référence
(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald (en), Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 6
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2010.
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