- Complexe de cochaines
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Homologie et cohomologie
Pour les articles homonymes, voir Homologie.L'homologie est une technique générale en mathématiques qui sert à mesurer l'obstruction qu'ont certaines suites de morphismes à être exactes. Elle intervient dans de nombreux domaines comme l'algèbre, la topologie algébrique, la géométrie algébrique ou la géométrie différentielle.
Sommaire
Généralités
Complexe de chaines
Un complexe de chaines est la donnée d'une suite de groupes abéliens ou plus généralement d'objets d'une catégorie abélienne Mi et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de bord , telle que : . Les éléments de Mi s'appellent des chaines de degré i. Les éléments du noyau s'appellent des cycles. Les éléments de l'image s'appellent des bords. Tout bord est un cycle. Les groupes d'homologie du complexe M * sont alors, par définition : .
Complexe de cochaines
Un complexe de cochaines est la donnée d'une suite de groupes abéliens ou plus généralement d'objets d'une catégorie abélienne Mi et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de cobord , telle que : . Les éléments de Mi s'appellent des cochaines de degré i. Les éléments du noyau s'appellent des cocycles. Les éléments de l'image s'appellent des cobords. Tout cobord est un cocycle. Les groupes de cohomologie du complexe M * sont alors, par définition : .
On remarque que si M * est un complexe de cochaines, on obtient un complexe de chaines en posant Mi = M − i. Cependant les deux terminologies existent car il peut être désagréable de modifier l'indexation.
Par exemple, si est un complexe de chaines de groupes abéliens, posons et (l'application transposée). Alors est un complexe de cochaines.
Exemple
À tout espace topologique, on peut associer son complexe de chaines singulières et donc son homologie singulière. Du point de vue de la théorie des catégories, l'homologie peut être vue comme un foncteur de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupes abéliens gradués.
On peut remplacer les groupes abéliens par des modules sur un anneau commutatif.
Catalogue
Chaque théorie homologique mérite à elle seule un article. La liste suivante n'est pas exhaustive.
- Homologie singulière - Homologie associée à tout espace topologique.
- Homologie cellulaire - Homologie associée à tout CW-complexe
- Cohomologie de De Rham - Cohomologie associée à toute variété différentielle.
- Cohomologie galoisienne
- Cohomologie d'Alexander-Spanier
- Homologie simpliciale
- Homologie étale
- Homologie de Morse
- Homologie de Floer
- Homologie et Cohomologie de Cech
- Homologie de Hochschild Homologie associée à toute algèbre associative
- Homologie cyclique Homologie associée à toute algèbre associative
- Homologie des algèbres de Lie Homologie associée à toute algèbre de Lie
- Homologie des groupes Homologie associée à un groupe
Bibliographie
Ouvrages de mathématiques
- William Fulton ; Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94327-7.
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