Cohomologie de Dolbeault

Cohomologie de Dolbeault

En géométrie complexe et en géométrie différentielle, la cohomologie de Dolbeault (de) est une généralisation aux variétés complexes de la cohomologie de De Rham.

Définition du complexe de cochaines

Pour un fibré vectoriel holomorphe E sur une variété complexe M, les formes différentielles sur M à valeurs dans E se définissent comme les sections du fibré \Lambda^*M\otimes E. Parmi ces formes différentielles se distinguent celles qui sont linéaires en les p premières variables et antilinéaires en les q suivantes, dites de bidegré (p,q). On note usuellement Ωp,q(M,E) l'espace vectoriel complexe des formes différentielles de bidegré (p,q) à valeurs dans E. Ces espaces sont en somme orthogonale et :

\Gamma(\Lambda^nM\otimes E)=\bigoplus_{p+q=n}\Omega^{p,q}(M,E).

Si E est le fibré en droites complexes trivial sur M, on s'empresse de l'oublier dans les notations. En particulier :

\Gamma(\Lambda^nM)=\bigoplus_{p+q=n}\Omega^{p,q}(M).

Pour une forme différentielle φ de bidegré (p,q), on note \overline{\partial}\varphi la partie de degré (p,q + 1) de \mathrm d\overline{\phi} suivant la décomposition ci-dessus. Si ξ est une section holomorphe (locale) de E, alors \varphi\otimes \xi définit une forme différentielle de bidegré (p,q) à valeurs dans E, et on définit :

\overline{\partial}(\varphi\otimes \xi)=\overline{\partial}\varphi\otimes \xi.

Comme E est localement engendré par ses sections holomorphes, \overline{\partial} se prolonge en un opérateur sur Ωp,q(M,E) à valeurs dans Ωp,q + 1(M,E), appelé opérateur de Cauchy-Riemann. L'expression ci-dessus ne reste valable que pour des sections holomorphes de E. On dispose donc de flèches :

\overline{\partial}:\Omega^{p,q}(M,E)\rightarrow \Omega^{p,q}(M,E).

Comme \overline{\partial}^2=0, on dispose d'un complexe de cochaines (\Omega^{p,*}(M,E),\overline{\partial}), dont le q-ième groupe de cohomologie est appelé (p,q)-groupe de Dolbeault :

 H^{p,q}(M)=\frac{\ker(\overline{\partial}:\Omega^{p,q}\rightarrow \Omega^{p,q+1})}{\operatorname{im}(\overline{\partial}:\Omega^{p,q-1}\rightarrow \Omega^{p,q})   }.

Théorème de Dolbeault

Le théorème de De Rham affirme que les complexes de De Rham et les complexes de cohomologie singulière d'une variété différentielle réelle sont homotopes. Le théorème de Dolbeault peut être vu comme un analogue complexe.

Théorème de Dolbeault — Le (p,q)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault du fibré holomorphe E est canoniquement isomorphe au q-ième groupe de cohomologie de Cech du faisceau des p-formes holomorphes sur M à valeurs dans E :

 H^{p,q}(M,E)=H^q(M,\Lambda^{p,0}M\otimes E)

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cohomologie de Dolbeault de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Cohomologie De Dolbeault — En géométrie complexe et en géométrie différentielle, la cohomologie de Dolbeault est une généralisation aux variétés complexes de la cohomologie de De Rham. Définition du complexe de cochaines Pour un fibré vectoriel holomorphe E sur une variété …   Wikipédia en Français

  • Cohomologie de dolbeault — En géométrie complexe et en géométrie différentielle, la cohomologie de Dolbeault est une généralisation aux variétés complexes de la cohomologie de De Rham. Définition du complexe de cochaines Pour un fibré vectoriel holomorphe E sur une variété …   Wikipédia en Français

  • Cohomologie De De Rham — En mathématiques, la cohomologie de de Rham est un outil de topologie différentielle, c est à dire adapté à l étude des variétés différentielles. Il s agit d une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes… …   Wikipédia en Français

  • Cohomologie de de rham — En mathématiques, la cohomologie de de Rham est un outil de topologie différentielle, c est à dire adapté à l étude des variétés différentielles. Il s agit d une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes… …   Wikipédia en Français

  • Cohomologie de De Rham — En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c est à dire adapté à l étude des variétés différentielles. Il s agit d une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes… …   Wikipédia en Français

  • Dolbeault-Kohomologie — Die Dolbeault Kohomologie ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde es nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der das Objekt 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault… …   Deutsch Wikipedia

  • Dolbeault cohomology — In mathematics, in particular in algebraic geometry and differential geometry, Dolbeault cohomology (named after Pierre Dolbeault) is an analog of de Rham cohomology for complex manifolds. Let M be a complex manifold. Then the Dolbeault… …   Wikipedia

  • Théorème de dualité de De Rham — Cohomologie de De Rham En mathématiques, la cohomologie de de Rham est un outil de topologie différentielle, c est à dire adapté à l étude des variétés différentielles. Il s agit d une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”