Cohomologie Des Faisceaux

Cohomologie Des Faisceaux

Cohomologie des faisceaux

Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines.

Formulation

Les groupes de cohomologie H^k(X,\mathcal{F}) d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaine :

\dots\rightarrow \Gamma(X,I^{k-1})\rightarrow \Gamma(X,I^k)\rightarrow \Gamma(X,I^{k+1})\rightarrow \dots

où \mathcal{F}\rightarrow I^* est une résolution injective du faisceau \mathcal F, et \Gamma(X,\mathcal{A}) désigne le groupe abélien des sections globales de \mathcal A. A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie.

  • Le zéroième groupe H^0(X,\mathcal{F}) est canoniquement isomorphe à \Gamma(X,\mathcal{F}).
  • Tout morphisme \Phi:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B} induit des homomorphismes de groupes abéliens canoniquement définis :
\Phi_*:H^k(X,\mathcal{A})\rightarrow H^k(X,\mathcal{B})
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