Comparaison série-intégrale

Les séries sont un procédé de sommation de grandeurs discrètes, l'intégrale de grandeurs continues. L'analogie formelle entre les deux domaines permet de faire passer des idées intéressantes de l'une à l'autre. La comparaison explicite d'une intégrale et d'une série associées permet par exemple d'utiliser l'une pour avoir des valeurs approchées de l'autre.

Sommaire

1 Comparaison formelle
2 Théorème de comparaison
- 2.1 Pour fonctions monotones
- 2.2 Variantes
3 Dérivée, primitive, intégration par parties

Comparaison formelle

À partir de la série numérique de terme général u_n, on fabrique une fonction constante par morceaux f, définie par f(x)=u_n pour x dans [n,n+1[.

Alors l'intégrale de f sur $\mathbb{R}^+$ et la série sont de même nature (toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes).

En ce sens la théorie des séries peut être vue comme un cas particulier de l'étude de la convergence des intégrales au voisinage de $+\infty$ .

Il faut prendre garde cependant que les intégrales recèlent une gamme de comportements plus riches que les séries, ainsi

il est connu que si la série de terme général u_n converge, alors la suite de terme général u_n tend vers 0
a contrario, il existe des fonctions f d'intégrale convergente (voire absolument convergente) et telles que f ne tend pas vers 0. C'est le cas de l'intégrale de Fresnel par exemple.

Théorème de comparaison

On suppose cette fois que la série s'exprime sous une forme explicite u_n=f(n). Bien sûr si f « change trop » entre deux valeurs entières consécutives, il n'y a pas de raison qu'il y ait de lien entre série et intégrale.

On ajoutera donc des hypothèses de comportement sur f pour obtenir des résultats de comparaison positifs.

Pour fonctions monotones

Principe de base

Soit f telle que u_n=f(n). Si f est décroissante et continue sur l'intervalle $[0, \infty[$ , alors on peut encadrer

$\forall t \in [n,n+1], \qquad f(n+1)\leq f(t) \leq f(n) \qquad \hbox{ puis } f(n+1)\leq \int_n^{n+1} f(t) \,\mathrm{d}t\leq f(n)$

Encadrement qu'on peut renverser en un encadrement de u_n

$\forall n >0, \qquad \int_n^{n+1} f(t) \,\mathrm{d}t\leq u_n \leq \int_{n-1}^{n} f(t) \,\mathrm{d}t$

On peut sommer ces encadrements de façon à obtenir

Un encadrement de la suite des sommes partielles (attention au premier terme)

$\int_0^{N+1} f(t) \,\mathrm{d}t\leq \sum_{n=0}^N u_n \leq u_0+ \int_{0}^{N} f(t) \,\mathrm{d}t$

Cet encadrement peut donner la limite ou un équivalent pour la suite des sommes partielles.

Le théorème de comparaison ou critère intégral de Cauchy

Si $f$ est une fonction positive décroissante sur l'intervalle $[N, \infty[$ , alors la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_N^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

En cas de convergence, un encadrement de la suite des restes

$\int_{N+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n \leq \int_{N}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$

De nouveau, cela peut donner un équivalent pour la suite des restes.

Formulation asymptotique

Les encadrements précédents permettent d'obtenir mieux qu'un simple équivalent : une relation asymptotique. On peut citer la célèbre formule d'Euler (qui concerne la série harmonique) à titre d'exemple

$\sum_{n=1}^N\frac1n=\ln N+\gamma+o(1)$

Ce qui suit explique comment l'obtenir, et généraliser l'étude à d'autres séries.

On se replace dans les hypothèses du théorème de comparaison série intégrale ci-dessus, mais on prend le taureau par les cornes en étudiant la différence

$\Delta_n = u_n- \int_n^{n+1} f(t) \,\mathrm{d}t$

Celle-ci vérifie donc l'encadrement

$0\leq \Delta_n \leq u_n-u_{n+1}$

Ce qui montre que la série de terme général $Δ n$ est à termes positifs et majorée par une série à termes télescopiques, convergente. Donc la série de terme général $Δ n$ converge. On peut donc écrire

$\sum_{n=0}^N u_n=\int_0^{N+1} f(t)\,\mathrm{d}t+\sum_{n=0}^N \Delta_n=\int_0^{N+1} f(t) \,\mathrm{d}t+\Delta + o(1)$

Poursuite du développement asymptotique

Article détaillé : formule d'Euler-Maclaurin.

On s'est contenté de dire que la série de terme général Δ_n convergeait. Pour aller plus loin, et estimer sa vitesse de convergence, on peut appliquer à cette même série la méthode de comparaison série intégrale : il nous faut d'abord un équivalent pour Δ_n

$\Delta_n = \frac1n-\ln (n+1)+\ln n = \frac1n-\ln \left(1+\frac1n\right)\sim \frac1{2n^2}$

On compare alors le reste de la série de terme général Δ_n avec l'intégrale de la fonction $t \mapsto \frac1{2t^2}$ qui est encore continue positive décroissante

$\int_{N+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{2t^2} \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \Delta_n = \Delta-\sum_{n=0}^{N} \Delta _n \leq \int_{N}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{2t^2}$

Ce qui donne un développement de $\sum_{n=0}^{N} \Delta _n$ qu'on peut reporter dans la formule d'Euler. On peut recommencer ensuite l'opération effectuée, en soustrayant de nouveau l'intégrale avec laquelle on vient de faire la comparaison. La méthode se poursuit jusqu'à obtenir un développement à l'ordre désiré. Par exemple pour l'ordre suivant, on a : $\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}+o\left(\frac1{n}\right)$

On pose alors $u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k- \ln(n)-\gamma-\frac1{2n}(=o\left(\frac1{n}\right))$

Puis on trouve un équivalent $v n$ de $u n - 1 - u n$ qu'on somme avec le théorème de sommation des équivalents, puis on trouve un équivalent de $\sum_{k=n+1}^{+\infty} v_n$ en comparant le terme général avec une intégrale.

On trouve alors successivement :

$\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+ O\left(\frac1{n^{12}}\right)$

Variantes

Il est possible d'utiliser une comparaison série-intégrale sans les hypothèses du théorème de comparaison.

Par exemple, dans le cas d'une fonction à valeurs complexes dérivable à dérivée continue par morceaux, une idée possible est d'écrire Δ_n sous la forme suivante (par intégration par parties)

$\Delta_n = \int_n^{n+1} (t-n) f'(t) \,\mathrm{d}t$

Lorsque la fonction f' est intégrable, on peut obtenir un résultat. Intuitivement, le succès est lié au fait que f varie peu sur [n,n+1].

Cependant une méthode souvent plus féconde est de procéder directement sur la série de terme général u_n en lui appliquant une transformation d'Abel, qui est l'analogue discret de l'intégration par parties. Nous présentons cette analogie dans le prochain paragraphe.

On peut aussi souvent appliquer la puissante formule sommatoire d'Abel.

Dérivée, primitive, intégration par parties

On peut poursuivre dans la voie de l'analogie série-intégrale. Sans prétention de fournir un énoncé rigoureux, il peut être bon de considérer les opérations suivantes comme « analogues en un certain sens ». Cela peut guider dans l'étude de problèmes d'analyse.

Fonction f	Suite u_n
convergence de l'intégrale (en $+\infty$ )	convergence de la série
fonction dérivée	suite u_n+1-u_n
solution d'une équation différentielle linéaire	suite récurrente linéaire
intégration par parties	transformation d'Abel

Exemple : la série de terme général $\frac{\sin n}{n}$

La série n'est pas à termes positifs, les critères classiques ne nous aident guère. Mais par analogie avec l'étude de la convergence de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ (qui se fait par intégration par parties), on procède à une transformation d'Abel :

$\sum_{n=1}^N (\sin n).\frac{1}{n} =\frac1{N+1}(\sum_{k=1}^N \sin k)+ \sum_{n=1}^N \left(\sum_{k=1}^n \sin k\right)\left(\frac1{n}-\frac1{n+1}\right)$

On notera qu'on retrouve même les « termes entre crochet » dans l'intégration par parties. Il reste à appliquer une identité trigonométrique (voir plus précisément l'article noyau de Dirichlet) pour montrer que la suite de terme général $\sum_{k=1}^N \sin k$ est bornée. Alors les théorèmes de comparaison s'appliquent et on obtient que la série de terme général $\frac{\sin n}{n}$ converge.

L'intervention du noyau de Dirichlet n'est pas fortuite, puisqu'on peut prouver la convergence de cette série (et calculer la valeur de sa somme) à l'aide des séries de Fourier.

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