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Comparaison série-intégrale
Les séries sont un procédé de sommation de grandeurs discrètes, l'intégrale de grandeurs continues. L'analogie formelle entre les deux domaines permet de faire passer des idées intéressantes de l'une à l'autre. La comparaison explicite d'une intégrale et d'une série associées permet par exemple d'utiliser l'une pour avoir des valeurs approchées de l'autre.
Sommaire
Comparaison formelle
A partir de la série numérique de terme général un, on fabrique une fonction constante par morceaux f, définie par f(x)=un pour x dans [n,n+1[.
Alors l'intégrale de f sur et la série sont de même nature (toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes).
En ce sens la théorie des séries peut être vue comme un cas particulier de l'étude de la convergence des intégrales au voisinage de .
Il faut prendre garde cependant que les intégrales recèlent une gamme de comportements plus riches que les séries, ainsi
- il est connu que si la série de terme général un converge, alors la suite de terme général un tend vers 0
- a contrario, il existe des fonctions f d'intégrale convergente (voire absolument convergente) et telles que f ne tend pas vers 0. C'est le cas de l'intégrale de Fresnel par exemple.
Théorème de comparaison
On suppose cette fois que la série s'exprime sous une forme explicite un=f(n). Bien sûr si f « change trop » entre deux valeurs entières consécutives, il n'y a pas de raison qu'il y ait de lien entre série et intégrale.
On ajoutera donc des hypothèses de comportement sur f pour obtenir des résultats de comparaison positifs.
Pour fonctions monotones
Principe de base
Soit f telle que un+1=f(un). Si f est décroissante et continue sur l'intervalle , alors on peut encadrer
Encadrement qu'on peut renverser en un encadrement de un
On peut sommer ces encadrements de façon à obtenir
- Un encadrement de la suite des sommes partielles (attention au premier terme)
Cet encadrement peut donner la limite ou un équivalent pour la suite des sommes partielles.
- Le théorème de comparaison
Si est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle , alors la série et l'intégrale sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.
- En cas de convergence, un encadrement de la suite des restes
De nouveau, cela peut donner un équivalent pour la suite des restes.
Formulation asymptotique
Les encadrements précédents permettent d'obtenir mieux qu'un simple équivalent : une relation asymptotique. On peut citer la célèbre formule d'Euler (qui concerne la série harmonique) à titre d'exemple
Ce qui suit explique comment l'obtenir, et généraliser l'étude à d'autres séries.
On se replace dans les hypothèses du théorème de comparaison série intégrale ci-dessus, mais on prend le taureau par les cornes en étudiant la différence
Celle-ci vérifie donc l'encadrement
Ce qui montre que la série de terme général Δn est à termes positifs et majorée par une série à termes télescopiques, convergente. Donc la série de terme général Δn converge. On peut donc écrire
Poursuite du développement asymptotique
On s'est contenté de dire que la série de terme général Δn convergeait. Pour aller plus loin, et estimer sa vitesse de convergence, on peut appliquer à cette même série la méthode de comparaison série intégrale : il nous faut d'abord un équivalent pour Δn
On compare alors le reste de la série de terme général Δn avec l'intégrale de la fonction qui est encore continue positive décroissante
Ce qui donne un développement de Δn qu'on peut reporter dans la formule d'Euler. On peut recommencer ensuite l'opération effectuée, en soustrayant de nouveau l'intégrale avec laquelle on vient de faire la comparaison. La méthode se poursuit jusqu'à obtenir un développement à l'ordre désiré. Par exemple
Variantes
La comparaison série-intégrale peut donner du fruit même si toutes les hypothèses du théorème de comparaison ci-dessus ne sont pas réunies. On formera la même série Δn et on devra essayer d'en faire l'étude.
Une idée possible, si f est suffisamment régulière, est d'écrire Δn sous la forme suivante (par intégration par parties)
Par exemple si la fonction f' est intégrable, on peut obtenir un résultat. Intuitivement, la succès est lié au fait que f varie peu sur [n,n+1].
Cependant une méthode souvent plus féconde est de procéder directement sur la série de terme général un en lui appliquant une transformation d'Abel, qui est l'analogue discret de l'intégration par parties. Nous présentons cette analogie dans le prochain paragraphe.
On peut aussi souvent appliquer la puissante formule sommatoire d'Abel.
Dérivée, primitive, IPP
On peut poursuivre dans la voie de l'analogie série-intégrale. Sans prétention de fournir un énoncé rigoureux, il peut être bon de considérer les opérations suivantes comme « analogues en un certain sens ». Cela peut guider dans l'étude de problèmes d'analyse.
Fonction f Suite un convergence de l'intégrale (en ) convergence de la série fonction dérivée suite un+1-un équation différentielle suite récurrente intégration par parties transformation d'Abel Exemple : la série de terme général
La série n'est pas à termes positifs, les critères classiques ne nous aident guère. Mais par analogie avec l'étude de la convergence de (qui se fait par intégration par parties), on procède à une transformation d'Abel :
On notera qu'on retrouve même les « termes entre crochet » dans l'intégration par parties. Il reste à appliquer une identité trigonométrique (voir plus précisément noyau de Dirichlet) pour montrer que la suite de terme général est bornée. Alors les théorèmes de comparaison s'appliquent et on obtient que la série de terme général converge.
Catégories : Série | Théorie de l'intégration
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