Formule D'Euler-Maclaurin

Formule d'Euler-Maclaurin

En mathématiques, la formule d'Euler-Maclaurin est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler et l'écossais Colin Maclaurin. Elle peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

Énoncé

Soient deux entiers relatifs p et q. Pour une fonction 2k fois continûment dérivable sur le segment $[p, q]$ , la formule s'énonce ainsi :

$\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{j=p+1}^{q-1}f\left( j\right) =\int_p^q f(x)\,dx +\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R$

avec :

$R = - \int_p^q f^{(2k)}(x) {B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor) \over (2k)!}\,dx,$

La notation $B i$ désigne le i-ème polynôme de Bernoulli, et $B_i(x-\lfloor x \rfloor)$ en est une version périodisée. Les nombres b_i désignent les nombres de Bernoulli : b₁ = −1/2, b₂ = 1/6, b₃ = 0, b₄ = −1/30, b₅ = 0, b₆ = 1/42, b₇ = 0, b₈ = −1/30.

Bien sûr, un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières.

Démonstration

On se contentera de faire la démonstration sur l'intervalle $[n, n + 1]$ avec $n \in \mathbb{Z}$ ; la formule précédente s'en déduit par sommation.

Soit g une fonction continûment dérivable sur $[n, n + 1]$ . En utilisant la propriété des polynômes de Bernoulli : $\forall k \in \mathbb{N} B_{k+1}' = \left(k+1\right) B_{k}$ , on trouve en faisant une intégration par parties :

$\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \left[ \frac{g \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right)}{k+1} \right]_n^{n+1} - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g' \left( t \right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt$

Or, sachant que pour $k \ge 2$ , on a $B_k \left( 1 \right) = B_k \left( 0 \right) = b_k$ , on en déduit :

$\int_n^{n+1} g \left( t \right) B_k \left( t-n \right) dt = \frac{b_{k+1}}{k+1} \left( g \left( n+1 \right) - g \left( n \right) \right) - \frac{1}{k+1} \int_n^{n+1} g'\left( t\right) B_{k+1} \left( t-n \right) dt$

Par récurrence sur k de 0 à 2p, en prenant $g = f (2 p)$ , on obtient :

$\int_n^{n+1} f \left( t \right) dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{2p} \frac{\left( -1 \right)^{k-1} b_k}{k!} \left( f^{(k-1)}\left(n+1\right) - f^{(k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt$

Enfin, avec la propriété : $\forall k \ge 1 , b_{2k+1} = 0$ , on en déduit :

$\int_n^{n+1} f \left( t \right) dt = \frac{f\left( n\right) +f\left( n+1\right) }{2}+\sum_{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor} \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}\left(n+1\right) - f^{(2k-1)}\left(n\right) \right) + \frac{1}{(2p)!} \int_n^{n+1} f^{(2p)} \left( t\right) B_{2p} \left( t-n \right) dt$

Références

Analyse numérique et équations différentielles, J.-P. Demailly, Presses universitaires de Grenoble

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Catégorie : Analyse réelle

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