Série de riemann

Série de Riemann

Pour $α$ complexe, on appelle série de Riemann la série suivante :

$\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^\alpha}$

La série harmonique en est un cas particulier, pour $α = 1$ :

$\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\ldots$

Sommaire

1 Proposition
2 Remarques
3 Fonction zêta de Riemann
4 Généralisations
5 Voir aussi

Proposition

Une série de Riemann converge absolument si et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$ .

Une série de Riemann converge si et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$ (même condition que précédemment).

Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.

Remarques

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout $α$ entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour $p$ entier naturel non nul :

$\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2\,p}}=r\,\pi^{2\,p}$ , où

r

est un rationnel.

Ainsi par exemple $\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{4}} = \frac{\pi^4}{90}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{6}} = \frac{\pi^6}{945},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}, \quad ...$

En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon $α$ hormis que pour $α = 3$ , la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1979).

Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann $ζ$ est définie pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle $\Re e \ (s) > 1$ par la série convergente :

$\zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s}$

Il s'agit d'une fonction méromorphe.

Généralisations

Les séries de Bertrand, de la forme

$\sum{1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}$ .

Les séries de Dirichlet, de la forme

$\sum{a_n \over n^\alpha}$ .

Les séries de Riemann multiples, de la forme

$\sum_{n_1,\cdots ,n_k >0}\frac{1}{(n_1^2+n_2^2\cdots +n_k^2)^{\alpha/2}}$

Il y a convergence si et seulement si $\Re(\alpha) >k$

Voir aussi

Portail des mathématiques

Ce document provient de « S%C3%A9rie de Riemann ».

Catégories : Série | Bernhard Riemann

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Série de riemann de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Serie de Riemann — Série de Riemann Pour α complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1: Sommaire 1 … Wikipédia en Français
Série de Riemann — Pour α complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1: Sommaire 1 Proposition … Wikipédia en Français
RIEMANN (B.) — Après la mort de Georg Friedrich Bernhard Riemann, son œuvre fut publiée en un seul volume, y compris les fragments posthumes, et cette brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du mathématicien: d’une part, ses démonstrations sont très… … Encyclopédie Universelle
Serie de Dirichlet — Série de Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique. En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions, définie… … Wikipédia en Français
Série de dirichlet — Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique. En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions, définie sur l ensemble des… … Wikipédia en Français
Serie harmonique — Série harmonique Pour les articles homonymes, voir Série et Harmonique. En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Sujet d étude classique en analyse, elle fait … Wikipédia en Français
Serie de Bertrand — Série de Bertrand Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand la série à termes réels positifs suivante : . La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 … Wikipédia en Français
Série de bertrand — Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand la série à termes réels positifs suivante : . La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 … Wikipédia en Français
Série de Dirichlet — Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique. En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions, définie sur l ensemble des… … Wikipédia en Français
Série harmonique — Pour les articles homonymes, voir Série et Harmonique. En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Elle fait partie de la famille plus large des séries de… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Série de riemann