Série de riemann
- Série de riemann
-
Série de Riemann
Pour α complexe, on appelle série de Riemann la série suivante :
La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1:
Proposition
Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.
Remarques
On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :
- , où r est un rationnel.
- Ainsi par exemple
En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon α hormis que pour α = 3, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1979).
Fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann ζ est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle par la série convergente :
Il s'agit d'une fonction méromorphe.
Généralisations
- .
- .
- Les séries de Riemann multiples, de la forme
Il y a convergence si et seulement si
Voir aussi
- Portail des mathématiques
Catégories : Série | Bernhard Riemann
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2010.
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