Série harmonique

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En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls.

Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.

Sommaire

1 Définition
2 La série harmonique diverge
- 2.1 Calcul des premiers termes
- 2.2 Démonstrations de divergence
3 Développement asymptotique de H_n
4 La série harmonique alternée
5 Série harmonique et entier naturel
6 Représentation sous forme d'intégrale
7 Voir aussi

Définition

Le terme général $(u n)$ de la série harmonique est défini par

$\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{1}{n}$

On note classiquement $H n$ la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égal à

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ .

La série harmonique diverge

Calcul des premiers termes

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente.

Valeur de n	Valeur de H_n	Valeur de n	Valeur de H_n
1	1	11	3,019877345
2	1,5	12	3,103210678
3	1,833333333	13	3,180133755
4	2,083333333	14	3,251562327
5	2,283333333	15	3,318228993
6	2,45	16	3,380728993
7	2,592857143	17	3,439552523
8	2,717857143	18	3,495108078
9	2,828968254	19	3,547739657
10	2,928968254	20	3,597739657

En fait, la série harmonique diverge, elle tend vers $+\infty$ .

Valeur de n	Valeur de H_n
10	2,928968254
100	5,187377518
1 000	7,485470861
10 000	9,787606036
100 000	12,09014613
1 000 000	14,39272672
10 000 000	16,69531137
100 000 000	18,99789641
1 000 000 000	21,30048150

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de n par 10, il semble qu'on rajoute une constante à H_n, de l'ordre de 2,3. Ce comportement apparent est de type logarithmique en n. C'est bien ce qu'on obtient on faisant une étude asymptotique plus poussée.

Démonstrations de divergence

La première démonstration de la divergence de la série harmonique est due à Nicole Oresme, parue dans Questiones super geometriam Euclidis (1360). Elle consiste à remarquer que :

$H_4 = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \geq 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$H_8 = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) \geq 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.

On peut aussi utiliser un raisonnement par l'absurde. Si la suite de terme général $H n$ convergeait vers une limite finie, la suite de terme général $H 2 n$ , en tant que suite extraite, convergerait vers la même limite, et donc la suite de terme général $H 2 n - H n$ convergerait vers 0. Or, on peut minorer les termes de cette suite :

$H_{2n}-H_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ .

Ainsi, la suite de terme général $H n$ ne peut converger vers une limite finie. En tant que suite croissante de réels, elle diverge donc vers $+\infty$ .

On peut aussi comparer la série harmonique à une série télescopique bien choisie

$v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n}$

Alors $v n$ est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc par comparaison la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de comparaison série-intégrale (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs dans le choix « judicieux » de la série télescopique).

Développement asymptotique de $H n$

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de comparaison série-intégrale.

Équivalent de $H n$

En utilisant l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse

$\int_n^{n+1} \frac {1}{t} \mathrm{d}t\leq \frac {1}{n} \leq \int_{n-1}^{n} \frac {1}{t} \mathrm{d}t$

et en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à

$1+\int_2^{N+1}\frac {1}{t} \mathrm{d}t \leq H_N \leq 1+ \int_1^{N}\frac {1}{t} \mathrm{d}t.$

Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à $ln n$ , on obtient :

$H_N \underset{+\infty}{\sim} \ln(N)$

Second terme du développement asymptotique

La suite $\ (H_n-\ln (n))$ admet une limite finie qui est traditionnellement notée $γ$ et appelée constante d'Euler. On a donc la formule d'Euler

$\ H_n = \ln (n)+\gamma +o(1)$ ,

Les 25 premiers chiffres du développement décimal de la constante d'Euler sont :

$\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120...$

Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article comparaison série-intégrale.

Termes suivants du développement asymptotique

La méthode est détaillée dans l'article comparaison série-intégrale ; les premiers termes du développement sont

$\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+ O\left(\frac1{n^{12}}\right)$

La série harmonique alternée

Le terme général $(u n)$ de la série harmonique alternée est définie par

$\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{(-1)^n}{n}$

C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le critère de convergence des séries alternées. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer la nature et la somme de la série harmonique alternée.

En séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente, on prouve que la série harmonique alternée converge et a pour somme

$-\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n}+\cdots$

Démonstration détaillée : on décompose les sommes partielles d'ordre pair

$\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}+\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1}$

$\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1} =2\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=H_N-H_{2N}$

Une formule d'Euler pour chaque terme

$\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\ln N+\gamma+o(1)-(\ln 2N+\gamma+o(1)) =-\ln 2+o(1)$

Pour conclure il faut encore signaler que si on prend une somme partielle d'ordre impair, elle a aussi pour limite - ln 2 (on ajoute en effet à la somme d'ordre pair précédente un terme qui tend vers 0).

Variante : on peut utiliser la théorie des séries entières en établissant la formule plus générale

$\forall x \in [-1,1[,\ -\ln (1-x)= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$

Série harmonique et entier naturel

Pour tout entier $n \geq 2$ , $H n$ n'est jamais entier.

L'argumentation s'appuie sur le postulat de Bertrand : pour tout entier $k \geq 1$ , il existe un nombre premier $p$ compris (au sens large) entre $k + 1$ et $2 k$ .

Soit $n \geq 2$ , et soit $k$ la partie entière de $n / 2$ . Il existe donc un nombre premier $p$ compris entre $k + 1$ et $2 k$ . Ce nombre premier $p$ est donc inférieur à $n$ et son double est strictement supérieur à $n$ . On en déduit que $p$ ne divise alors aucun des entiers de 1 à $n$ sauf lui-même.

Soit l'entier $K$ vérifiant

$K = \frac{n!}{p} = \prod_{\underset{ i \ne p}{i=1}}^n i$

D'après la remarque précédente, $p$ ne divise aucun des entiers de 1 à $p$ sauf lui-même, il ne divise donc pas leur produit, il ne divise donc pas $K$ .

On multiplie alors $H n$ par $K$

$KH_n = \sum_{\underset{ i \ne p}{i=1}}^n \frac Ki + \frac Kp$

Or pour tout $i \neq p$ , $K / i$ est un entier donc la somme des $K / i$ est un entier noté $A$ , donc

$KH_n = A + \frac Kp$

$A$ est un entier, $K / p$ n'est pas entier donc $K H n$ n'est pas entier et $H n$ n'est pas entier.

Représentation sous forme d'intégrale

La série harmonique peut aussi se calculer à partir d'une intégrale simple, et par ce biais on peut obtenir un prolongement analytique sur $\R$ :

$H_n = \int_0^1 \frac{x^n-1}{x-1}\,\mathrm{d}x$

Voir aussi

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