- Serie de Riemann
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Série de Riemann
Pour α complexe, on appelle série de Riemann la série suivante :
La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1:
Sommaire
Proposition
- Une série de Riemann converge absolument si et seulement si 1" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/98/bc8690ea5034e07ce7da48991fb7184c.png" border="0">.
- Une série de Riemann converge si et seulement si 1" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/98/bc8690ea5034e07ce7da48991fb7184c.png" border="0"> (même condition que précédemment).
Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.
Remarques
On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :
- , où r est un rationnel.
- Ainsi par exemple
En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon α hormis que pour α = 3, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1979).
Fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann ζ est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle 1" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/55/73ef557b3c65cc832ad79f30eef68feb.png" border="0"> par la série convergente :
Il s'agit d'une fonction méromorphe.
Généralisations
- Les séries de Bertrand, de la forme
- .
- Les séries de Dirichlet, de la forme
- .
- Les séries de Riemann multiples, de la forme
- 0}\frac{1}{(n_1^2+n_2^2\cdots +n_k^2)^{\alpha/2}}" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/101/e8c04aed4bb36486e803bc798e238f58.png" border="0">
Il y a convergence si et seulement si k" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/56/81a1013a6807c5c5efd15d942d22a8f5.png" border="0">
Voir aussi
- Somme de Riemann
- Fonction zêta de Riemann
- Hypothèse de Riemann
- Histoire de la fonction Zeta de Riemann
- Portail des mathématiques
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