Serie des inverses des nombres premiers

Serie des inverses des nombres premiers

Série des inverses des nombres premiers

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est définie par

\forall n \in \N,\ \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i};

où pi désigne le i-ème nombre premier.

Étant donné qu'il existe une infinité de nombres premiers, cette suite n'est pas constante à partir d'un certain rang. Cependant, elle n'est pas convergente pour autant. Et comme elle est strictement croissante, cette suite diverge vers l'infini.

Sommaire

Preuve par l'analyse

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un nombre entier suffisamment grand i0 tel que:

\sum_{i=i_0}^\infty \frac{1}{p_i}< \frac{1}{2}.

Définissons N(x) comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les i0 premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme km2 où k est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les i0 premiers nombres premiers pourraient diviser k, il y a au plus 2^{i_0} choix pour k. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus \sqrt{x} valeurs possibles pour m, cela nous donne:

N(x) \leq 2^{i_0}\sqrt{x}.

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par un nombre premier différent des i0 premiers est égal à x − N(x).

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisible par p est au plus x / p, nous obtenons:

x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2};

ou encore

{x \over 2} < N(x) \le 2^{i_0}\sqrt{x}.

Mais cela est impossible pour tout x supérieur à 2^{2i_0+2} . D'où une contradiction.

Preuve par un produit eulérien

Article détaillé : produit eulérien.

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Comme on a l'équivalence

\log\left( \frac{1}{1-p_i^{-1}} \right) \sim \frac{1}{p_i};

on en déduit que

\prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-1}};

converge vers un réel \ell. D'après le produit eulérien, on a

\forall s>1,\ \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-s}} \leq \prod_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{1-p_i^{-1}}=\ell.

Une comparaison série-intégrale montre que lorsque s \rightarrow 1^+, on a l'équivalence

\zeta(s) \sim \frac{1}{s-1};

donc

\zeta(s) \underset{ s \rightarrow 1^+}{\rightarrow} +\infty;

ce qui est absurde.

Voir aussi

Lien externe

  • (en) Chris K. Caldwell: «Il existe une infinité de nombres premiers, mais, quelle est la grandeur de cet infini ?», [1]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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