Calcul algébrique

Calcul algébrique

C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l’algèbre chaloupée (écrite en langue commune). Le calcul algébrique combine lettres et nombres, et des opérations. La grande différence entre le calcul numérique et le calcul algébrique est que le premier a pour but de ne donner qu'un résultat particulier alors que le second — bien qu'incluant le premier — permet de prouver une théorie, de démontrer ou de définir des lois de manière plus générale. Euclide dans les livres arithmétiques des Éléments d'Euclide (livres VII à IX) utilise fréquemment des valeurs numériques particulières qui ont valeur de généralité.

L'algèbre est donc une arithmétique généralisée.

Sommaire

Sur les notations

Il est important de noter, qu'utilisant des lettres pour désigner des variables telles \textstyle a, b, x \text{ et } y , la multiplication standard se note " \textstyle \cdot " (ou sans signe lorsque le contexte le permet).

On notera donc 2 multiplié par 4 : \textstyle 2 \cdot 4 .

De même : \textstyle x \text{ fois } y = x \cdot y = xy.

Exemple

On souhaite démontrer (lentement) que le produit de la somme et de la différence de deux nombres est égal à la différence de leurs carrés :

(a - b) \cdot (a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b)= a^2 + a \cdot b - b \cdot a - b^2 = a^2 - b^2 .

Ainsi (a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2

\square

Règles de priorité

Les règles de priorité qui s'appliquent aux suites de calculs définissent l'ordre dans lequel ces calculs doivent être menés.

  1. Les parenthèses ont toujours priorité sur les autres calculs.
  2. Viennent ensuite les crochets. Quand le problème des parenthèses et des crochets est réglé, on s'intéresse aux différentes opérations, à savoir dans l'ordre :
  3. Les puissances
  4. Les produits et les quotients
  5. Les sommes et différences

Par exemple, dans le calcul de l'expression :
A=8 - 3 \cdot 5^3 + (7 + 10)^2

D'après les règles de priorité, on commence par faire le calcul entre parenthèses
\Leftrightarrow A=8 - 3 \cdot 5^3 + (7 + 10)^2 = 8 - 3 \cdot 5^3 + (17)^2 .

Ensuite, on effectue le calcul des puissances
\Leftrightarrow A=8 - 3 \cdot 5^3 + (17)^2 = 8 - 3 \cdot 125 + 289

Maintenant le calcul prioritaire à effectuer est le produit
\Leftrightarrow A=8 - 3 \cdot 125 + 289 = 8 - 375 + 289

Et maintenant, il ne nous reste plus que des sommes :
\Leftrightarrow A=8 - 375 + 289 = -78

Autre exemple :
\displaystyle A = 4 + [5 \cdot (8 - 6) + 8]

\displaystyle A = 4 + [5 \cdot 2 + 8]

\displaystyle A = 4 + [10 + 8]

\displaystyle A = 4 + 18

\displaystyle A = 22

Deuxième exemple

(AB) \cdot (AB) = ABAB = A ^2 B ^2, mais pas \displaystyle A ^2 + 2 \cdot AB + B ^2 :

Pour \displaystyle A = 20, B = 20


  • A^2 B^2 = 20^2 \cdot 20^2 = 400 \cdot 400 = 16000
  • A^2 + 2AB + B^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 20 + 20^2 = 400 + 800 + 400 = 1600


L'identité remarquable \textstyle (a+b)^2 n'est applicable que dans le cas d'une addition dans les parenthèses, il faut donc veiller à ne pas confondre les différentes propriétés.

v · d · m
Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques Algèbre classique  · Arithmétique élémentaire  · Analyse  · Analyse réelle  · Suites numériques  · Géométrie classique  · Logique  · Probabilités  · Statistiques
Algèbre classique Addition  · Multiplication  · Division  · Ordre des opérations  · Table d'addition  · Table de multiplication  · Associativité  · Commutativité  · Distributivité  · Transitivité  · Proportionnalité  · Pourcentage  · Règle de trois  · Fraction  · Équation du premier degré  · Équation du second degré  · Système d'équation
Géométrie classique Géométrie du triangle  · Quadrilatère  · Coordonnées cartésiennes  · Théorème de Pythagore  · Théorème de Thalès  · Théorème de Thalès (cercle)  · Théorème des milieux  · Théorème d'Al-Kashi  · Rotation plane  · Homothétie  · Translation  · Similitude
Arithmétique Multiple  · Diviseur  · Division euclidienne  · Nombre premier  · Congruence sur les entiers  · PGCD de nombres entiers  · Plus petit commun multiple  · Critère de divisibilité  · Preuve par neuf
Suites et fonctions Fonction de référence  · Fonction affine  · Fonction du second degré  · Fonction puissance · Fonction trigonométrique  · Fonction logarithme  · Fonction exponentielle  · Suite arithmétique  · Suite géométrique  · Limite  · Dérivation  · Opérations sur les limites  · Dérivées usuelles  · Opérations sur les dérivées
Logique Logique (mathématiques élémentaires)  · Démonstration  · Contre-exemple  · Difficulté mathématique
Statistiques et probabilités Statistiques (mathématiques élémentaires)  · Critères de position  · Critères de dispersion  · Série statistique à deux variables  · Probabilités (mathématiques élémentaires)  · Arbre de probabilité  · Variables aléatoires élémentaires

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Calcul algébrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Calcul Algébrique — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Calcul algebrique — Calcul algébrique Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Calcul algébrique (mathématiques élémentaires) — Calcul algébrique Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • algébrique — [ alʒebrik ] adj. • XVIIIe; algébraïque 1585; de algèbre ♦ Relatif à l algèbre, qui s effectue par l algèbre. Calcul numérique et calcul algébrique. Mesure, quantité algébrique. Courbe, équation, fonction algébrique. Nombre algébrique. Topologie… …   Encyclopédie Universelle

  • Calcul (Mathématiques) — En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l abstraction permet maintenant d… …   Wikipédia en Français

  • Calcul (mathematiques) — Calcul (mathématiques) En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l abstraction… …   Wikipédia en Français

  • Calcul littéral — Calcul (mathématiques) En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l abstraction… …   Wikipédia en Français

  • Calcul mathématique — Calcul (mathématiques) En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l abstraction… …   Wikipédia en Français

  • Calcul scientifique — Calcul (mathématiques) En mathématiques, un calcul est une opération ou un ensemble d opérations effectuées sur des grandeurs[1]. Initialement ces grandeurs étaient des nombres mais le développement des outils mathématiques et de l abstraction… …   Wikipédia en Français

  • Algebrique — Algébrique Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”