Calcul algébrique (mathématiques élémentaires)

Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires

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C'est vers le XVI^e siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n'était pratiqué que le calcul numérique ou l’algèbre chaloupée (écrite en langue commune). Le calcul algébrique combine lettres et nombres, et des opérations. La grande différence entre le calcul numérique et le calcul algébrique est que le premier a pour but de ne donner qu'un résultat particulier alors que le second — bien qu'incluant le premier — permet de prouver une théorie, de démontrer ou de définir des lois de manière plus générale. Euclide dans les livres arithmétiques des Éléments d'Euclide (livres VII à IX) utilise fréquemment des valeurs numériques particulières qui ont valeur de généralité.

L'algèbre est donc une arithmétique généralisée.

Sommaire 1 Exemple 2 Règles de priorité 2.1 Deuxième exemple 3 Exercices pour s'entrainer à manipuler les lettres

Exemple

On souhaite démontrer (lentement) que le produit de la somme et de la différence de deux nombres est egal à la différence de leurs carrés:

(a - b) . (a + b) = a . (a + b) - b . (a + b)= a² + a . b - b . a - b² = a² - b² .

Ainsi (a - b) . (a + b) = a² - b²

Cqfd.

Règles de priorité

Les règles de priorité qui s'appliquent aux suites de calculs définissent l'ordre dans lequel ces calculs doivent être menés.

1. Les parenthèses ont toujours priorité sur les autres calculs.
2. Viennent ensuite les crochets. Quand le problème des parenthèses et des crochets est réglé, on s'intéresse aux différentes opérations, à savoir dans l'ordre :
3. Les puissances
4. Les produits et les quotients
5. Les sommes et différences

Par exemple, dans le calcul de l'expression :
A=8 - 3 × 5³ + (7 + 10)²
D'après les règles de priorité, on commence par faire le calcul entre parenthèse
⇔ A=8 - 3 x 5³ + (7 + 10)² = 8 - 3 x 5³ + (17)² .
Ensuite, on effectue le calcul des puissances
⇔ A=8 - 3 x 5³ + (17)² = 8 - 3 x 125 + 289
Maintenant le calcul prioritaire à effectuer est le produit
⇔ A=8 - 3 x 125 + 289 = 8 - 375 + 289
Et maintenant, il ne nous reste plus que des sommes :
⇔ A=8 - 375 + 289 = -78
Autre exemple : A = 4 + [5 × (8 - 6) + 8]

1. A = 4 + [5 × 2 + 8]
2. A = 4 + [10 + 8]
3. A = 4 + 18
4. A = 22

Deuxième exemple

(AB) * (AB) = ABAB, ou A2B2. (Merci de comprendre que a AB * AB n'égale pas A2 + 2AB + B2.)

Si ce n'est pas assez clair. Voyons voir ceci :

A = 20, B = 20.

(20 * 20) * (20 * 20) 400 * 400. 160 000.

Alors que A2 + 2AB + B2 = 400 + 800 + 400 = 1600.

Pour obtenir A2 + 2 AB + B2. L'erreur reside en mélangeant les priorités (ex. faire la multiplication avant la parenthèse) Autrement dit, (AB) * (AB) = ABAB

Exercices pour s'entrainer à manipuler les lettres

On a l'équation :

y = 20 x + 2 y = -4 x - 8

Résoudre les inconnus. Donc on a : 20 x + 2 = -4 x - 8 ce qui donne : 20 x + 4 x = -8 - 2 d'où 24 x = -10 Donc x = -10 / 24

Ensuite on remplace le x par cette valeur fractionnée et on trouve le y. Donc y = 20 * (-10/24) + 2 = -6,33