Polychore régulier

Polychore régulier

4-polytope régulier convexe

Un hypercube en rotation

En mathématique, un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues en 4 dimensions des solides de Platon (3 dimensions) et des polygones réguliers (2 dimensions).

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Sommaire

Pentachore

Un pentachore en rotation

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraèdrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

  • 5 Sommets
  • 10 Arêtes
  • 10 Faces triangulaires
  • 5 cellules tétraèdriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie A4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Schlegel wireframe 5-cell.png Complete graph K5.svg

Tesseract

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

  • 16 sommets
  • 32 arêtes
  • 24 faces carrées
  • 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Schlegel wireframe 8-cell.png Hypercubestar.svg

Hexadécachore

Un hyperoctaèdre en rotation

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 8 sommets
  • 24 arêtes
  • 32 faces triangulaires
  • 16 cellules tétraèdriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B4. Sa figure de sommet est un octaèdre.

Schlegel wireframe 16-cell.png Cross graph 4.svg

Icositétrachore

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 24 sommets
  • 96 arêtes
  • 96 faces triangulaires
  • 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie F4. Sa figure de sommet est un cube.

Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cell graph ortho.png

Hecatonicosachore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

  • 600 sommets
  • 1200 arêtes
  • 720 faces pentagonales
  • 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est H4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Schlegel wireframe 120-cell.png 120-cell petrie polygon.svg

Hexacosichore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

  • 120 sommets
  • 720 arêtes
  • 1200 faces triangulaires
  • 600 cellules tétraèdriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est H4. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png 600-cell petrie polygon.svg

Notes et références


Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Bibliographie

  • H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
  • H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  • D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes




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