Polychore

En mathématique, un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues en 4 dimensions des solides de Platon (3 dimensions) et des polygones réguliers (2 dimensions).

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIX^e siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Sommaire 1 Pentachore 2 Tesseract 3 Hexadécachore 4 Icositétrachore 5 Hecatonicosachore 6 Hexacosichore 7 Notes et références 8 Voir aussi 8.1 Articles connexes 8.2 Liens externes 8.3 Bibliographie

Pentachore

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraèdrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

• 5 Sommets
• 10 Arêtes
• 10 Faces triangulaires
• 5 cellules tétraèdriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie A₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Tesseract

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

• 16 sommets
• 32 arêtes
• 24 faces carrées
• 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexadécachore

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

• 8 sommets
• 24 arêtes
• 32 faces triangulaires
• 16 cellules tétraèdriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B₄. Sa figure de sommet est un octaèdre.

Icositétrachore

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

• 24 sommets
• 96 arêtes
• 96 faces triangulaires
• 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie F₄. Sa figure de sommet est un cube.

Hecatonicosachore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

• 600 sommets
• 1200 arêtes
• 720 faces pentagonales
• 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est H₄. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexacosichore

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

• 120 sommets
• 720 arêtes
• 1200 faces triangulaires
• 600 cellules tétraèdriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est H₄. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Polytope, polytope régulier
• Simplexe, Hypercube, Hyperoctaèdre
• Solide de Platon

Liens externes

• Les polychores réguliers sur le site Mathcurve
• Les dimensions sur le site Dimensions-Superieures
• Sur Mathworld (en anglais)
• Patrons des polychores réguliers (en anglais)
• Le film documentaire "dimensions" donne des moyens de s'imaginer ces objets
• Les polychores réguliers sur Eusebeia (en anglais)

Bibliographie

• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
• D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

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