Hypersphere

Hypersphere

Hypersphère

Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel

En mathématiques, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension supérieure à 3. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien \mathbb R^{n+1}, notée en général \mathbb S^n.

Sommaire

Définition

Soit E espace euclidien de dimension n+1. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R nombre réel tel que R>0, l'ensemble des points M pour lesquels la distance AM vaut R.

Quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors dans un système de coordonnées orthonormales

R^2=\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2.\,

Par exemple

  • pour le cas n=0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R.
  • pour le cas n=1, l'hypersphère est un cercle
  • pour le cas n=2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel

Propriétés

Volume

Le volume de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,

où Γ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

n pair n impair
Vn \frac{\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{\left(\frac{n}{2}\right)!} 2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot n}

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières hypersphères de rayon 1 :

n Volume
Val. exacte Val. approchée
1 2 2
2 π 3,14159...
3 \frac{4}{3}\pi 4,18879...
4 \frac{1}{2}\pi^2 4,93480...
5 \frac{8}{15}\pi^2 5,26379...
6 \frac{1}{6}\pi^3 5,16771...
7 \frac{16}{105}\pi^3 4,72478...
8 \frac{1}{24}\pi^4 4,05871...

Le volume d'une telle hypersphère est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume des hypersphères est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite du volume à l'infini est nulle :

\lim_{n \to \infty}V_n = 0.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes de l'hypersphère et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

Aire

L'aire de l'hypersphère de dimension n-1 et de rayon R peut être déterminée en prenant en compte la dérivée de son volume par rapport au rayon :

S_n=\frac{dV_n}{dR}=\frac{n V_n}{R}={2\pi^{n/2}R^{n-1}\over\Gamma(n/2)}.

Γ désigne ici aussi la fonction gamma.

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 8 premières hypersphères de rayon 1 (l'aire de l'hypersphère de dimension 1 est cependant omise) :

n Aire
Val. exacte Val. approchée
2 2π 6,28318...
3 4π 12,56637...
4 2π2 19,73920...
5 \frac{8}{3}\pi^2 26,31894...
6 π3 31,00627...
7 \frac{16}{15}\pi^3 33,07336...
8 \frac{1}{3}\pi^4 32,46969...

L'aire d'une telle hypersphère est maximale pour n=7. Pour n>7, l'aire des hypersphère est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite de l'aire à l'infini est nulle :

\lim_{n \to \infty}S_n = 0.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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