- p-groupe
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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.
Sommaire
Propriétés
- Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
- Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
- Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
- Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
- Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial. (Par trivial, on entend réduit à l'élément neutre.)
- Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Démonstrations- Tout sous-groupe et quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
En effet, un élément d'un sous-groupe H d'un groupe G a le même ordre dans G et dans H, et l'ordre de l'image d'un élément x d'ordre fini par un homomorphisme (ici le morphisme canonique d'un groupe sur un quotient de ce groupe) divise l'ordre de x.
- Si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
Soient x un élément de G, q l'ordre de sa classe dans G/H, et r l'ordre de l'élément xq (qui appartient à H), alors qr est une puissance de p et xqr = 1.
- Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
Soit G un groupe fini, d'ordre n. Supposons tout d'abord que n est une puissance de p. Par application du théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément de G divise l'ordre n de G et est donc une puissance de p, si bien que G est un p-groupe. Réciproquement, supposons que l'ordre de tout élément de G est une puissance de p et prouvons que l'ordre n de G est une puissance de p. Pour tout diviseur premier q de n, d'après le théorème de Cauchy, G admet un élément d'ordre q, si bien que q est une puissance de p donc q = p. Ainsi, le seul éventuel diviseur premier de n est p, donc n est une puissance de p.
- Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors cet indice est une puissance de p.
Si H est d'indice fini alors son cœur HG (i.e. l'intersection de ses conjugués) aussi, donc G/HG est un p-groupe fini. Son ordre [G:HG] est alors une puissance de p, si bien que [G:H] (qui le divise) aussi.
- Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.
Soit G un p-groupe fini non trivial. Son ordre est donc une puissance non nulle de p. L'étude de l'action par conjugaison de G sur lui-même fournit l'équation aux classes. Elle permet d'exprimer le cardinal du centre Z(G) sous la forme :
où les Zi sont des sous-groupes de G distincts de G, donc la somme indexée par i est une somme de puissances non nulles de p. Il en résulte que le cardinal de Z(G) est divisible par p et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.
- Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que G est nilpotent. Démontrons-le par récurrence sur n, l'ordre de G étant supposé égal à pn.
Si n est égal à zéro, le groupe est trivial donc nilpotent.
Soit n > 0 et supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à n - 1. Soit Z le centre du groupe, il est distingué et non trivial, donc G/Z est un p-groupe d'ordre une puissance de p inférieure ou égale à n - 1 et est nilpotent. Le fait que G/Z soit nilpotent montre que G l'est.
Remarque[2] : tout groupe d'ordre p2 est abélien. En effet, si Z est le centre (non trivial) d'un tel groupe G alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p) donc G est engendré par la réunion de Z et d'un singleton, si bien que G est abélien. (Il est donc soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.)
Notes et références
Notes
- Cette définition est conforme à W. R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 91 ; J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 295 ; J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 73 ; M. Hall, Jr., The theory of groups, Chelsea, New York, 1976, p. 45 ; M. Reversat, B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996, p. 9.
- Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996, p. 34.
Références
- (en) Marshall Hall, Jr. (en), The theory of groups [détail des éditions]
- Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
- Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
- J. Calais, Eléments de théorie des groupes, puf 1998 (3e éd.) (ISBN 978-2130384656)
Voir aussi
Articles connexes
- Groupe de Prüfer
- Théorèmes de Sylow
- Théorème de Frattini
- Groupe monstre de Tarski (en)
Bibliographie
- Yakov Berkovich et Zvonimir Janko (en), Groups of prime power order, vol. 1, De Gruyter, 2008, (ISBN 978-3110204186)
- Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of prime power order, vol. 2, De Gruyter, 2008, (ISBN 978-3110204193)
Liens externes
- Théorèmes de Sylow par les mathématiques.net
- Cours de théorie des groupes par N. Jacon de l'université de Franche-Comté
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