Cône (topologie)

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Cône d'un cercle. L'espace original est en bleu, et l'extrémité réduite à un point est en gris.

En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône CX d'un espace topologique X est l'espace quotient:

du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1]. Intuitivement nous transformons X en un cylindre et on réduit une extrémité du cylindre à un point.

Si X appartient à un espace euclidien, le cône construit sur X est homéomorphe à l'union des droites allant des points de X à un autre point. C'est-à-dire que le cône topologique coïncide avec le cône géométrique bien défini. Cependant, la construction du cône topologique est plus générale.

Exemples

• Le cône construit sur un point p de la droite réelle est l'intervalle {p} x [0,1].
• Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en {0} et {1}.
• Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final).
• Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P.
• Le cône construit sur un disque est le solide cône de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept).
• Le cône construit sur un cercle est la surface courbe du cône solide:

Ce dernier est homéomorphe au disque fermé.

• Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée.
• Le cône construit un n-simplexe est un (n+1)-simplexe.

Propriétés

Tous les cônes sont connexes par arcs puisque tout point peut être relié au sommet. De plus, tout cône est contractile, c'est-à-dire qu'il est homotopiquement équivalent à un point à savoir son sommet par l'homotopie

h_t(x,s) = (x, (1−t)s).

Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile. Mais l'inclusion de l'espace à la base du cône est une cofibration, ce qui permet de définir la cofibre homotopique de l'écrasement d'un espace sur un point comme sa suspension.

Lorsque X est compact et séparé (essentiellement, lorsque X peut être plongé dans l'espace euclidien), alors le cône CX peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de X à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si X n'est pas compact ou séparé, car généralement la topologie quotient sur CX est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant X à un point.

Foncteur Cône

L'application induit un foncteur sur la catégorie des espaces topologiques Top.

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