n-sphère

Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel

En géométrie, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien $\scriptstyle\mathbb R^{n+1}$ , notée en général $\scriptstyle\mathbb S^n$ .

Définition

Soient E espace euclidien de dimension n+1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

$\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2=R^2~.$

Par exemple

pour le cas n=0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R.
pour le cas n=1, l'hypersphère est un cercle
pour le cas n=2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel

Propriétés

Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

Volume

Le volume de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

$V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,$

où $Γ$ désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

	n pair	n impair
$V n$	$\frac{\pi^{\frac{n}{2}}R^n}{\left(\frac{n}{2}\right)!}$	$2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}R^n}{1\cdot 3 \cdot \dots \cdot n}$

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n	Valeur du volume
n	exacte	approchée
1	$2$	2
2	$π$	3,14159
3	$\frac43\pi$	4,18879
4	$\frac12\pi^2$	4,93480
5	$\frac8{15}\pi^2$	5,26379
6	$\frac16\pi^3$	5,16771
7	$\frac{16}{105}\pi^3$	4,72478
8	$\frac1{24}\pi^4$	4,05871

Le volume d'une telle boule est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite du volume à l'infini est nulle :

$\lim_{n \to \infty}V_n = 0~.$

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2ⁿ ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

Aire

L'aire de l'hypersphère de dimension n-1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume V_n :

$S_{n-1}=\frac{dV_n}{dR}=\frac{n V_n}R={2\pi^{n/2}R^{n-1}\over\Gamma(n/2)}~.$

La n-sphère unité $\scriptstyle\mathbb S^n$ a donc pour aire :

${2\pi^{(n+1)/2}\over\Gamma({n+1\over2})}~.$

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n	Aire de $\scriptstyle\mathbb S^n$
n	exacte	approchée
1	$2π$	6,28318
2	$4π$	12,56637
3	$2π 2$	19,73920
4	$\frac{8}{3}\pi^2$	26,31894
5	$π 3$	31,00627
6	$\frac{16}{15}\pi^3$	33,07336
7	$\frac{1}{3}\pi^4$	32,46969

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n=6. Pour n>6, l'aire est décroissante quand n augmente. En particulier, la limite de l'aire à l'infini est nulle :

$\lim_{n \to \infty}S_n = 0.$

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