Bénéfice de synergie

Bénéfice de synergie

En microéconomie, le bénéfice de synergie est un avantage global supplémentaire découlant de la décision dun ensemble dacteurs de mettre en commun des ressources ou des moyens, de coordonner des actions en visant une même finalité.

Les acteurs peuvent être des secteurs dactivité dune même entreprise (utilisant des ressources communes), ou des entités économiquement distinctes qui sorganisent au sein dun partenariat fondé sur des règles admises par tous.

Lorsque les acteurs souhaitent préserver leur indépendance économique, ils sont confrontés à devoir gérer une complexité accrue, contraints de définir et daccepter les modalités de leur collaboration. Les principaux problèmes concernent la caractérisation quantitative du bénéfice de synergie et la manière de le répartir entre les acteurs : mal résolus, ces problèmes induisent une instabilité de lalliance qui conduit naturellement à son éclatement.

Sommaire

Fusion dentreprises

Toute opération de fusion-acquisition dentreprises ou de rachat de concurrents permet dengendrer un bénéfice de synergie :

  • par laugmentation des compétences internes,
  • par une utilisation plus rationnelle des ressources,
  • par la réorganisation des activités (il est possible de faire mieux après quavant),
  • par les économies d'échelle et la diminution des coûts de production,
  • par lamélioration de la position sur les marchés,
  • etc.

En théorie, la fusion est lapproche la plus simple dans le sens elle élude la question délicate de la répartition du bénéfice de synergie entre les acteurs puisquen fin de compte il nen reste quun.

Les cartels et les ententes illicites exploitent également une source de synergie qui se réalise entièrement aux dépens dautres acteurs, cest à dire les clients.

Achats groupés

Plusieurs petits consommateurs dun même type de produit groupent leurs demandes individuelles afin de présenter au marché une demande résultante. Par exemples :

  • Combustible de chauffage : en passant une commande unique, divers propriétaires localisés dans un même quartier obtiennent un prix plus intéressant (rabais de quantité).
  • Produits financiers : divers petits épargnants placent leurs actifs financiers dans un fonds de placement leur permettant dacquérir ensemble un portefeuille plus richement diversifié, une réduction des coûts de transaction et une gestion centralisée des risques.

Définition de la stabilité dune répartition

Pour caractériser un mode de répartition du bénéfice de synergie obtenu au sein de lalliance dun ensemble dacteurs, un critère de stabilité peut être formulé de la manière suivante :

Définition — Un mode de répartition est stable si aucun sous-groupe dacteurs nest économiquement incité à se séparer de lensemble.

Ce critère est satisfait lorsque, pour tout sous-groupe donné, le bénéfice de synergie global issu des seuls membres du sous-groupe nest pas supérieur à la somme des bénéfices que ses membres obtiendraient en restant au sein de lalliance initiale. La stabilité ainsi définie sapparente à un optimum de Pareto local. Cependant, lalliance est menacée dès lexistence dun sous-groupe particulier ne satisfaisant pas cette propriété.

En particulier, pour quun tel mode de répartition existe, il est nécessaire que le bénéfice de synergie total naugmente pas lorsquun acteur quitte lalliance. Cette condition nimplique cependant pas que la contribution spécifique dun acteur donné soit nécessairement favorable à chacun des autres.

Répartition dune ressource limitée

Un ensemble de partenaires se partagent une ressource quantitativement limitée conformément à leurs parts respectives qui sont supposées être légalement établies. Par exemples :

  • Un ensemble de surfaces agricoles appartenant respectivement à des propriétaires éleveurs de bétail.
  • Une ressource en eau qui est répartie en parts prédéfinies entre des sociétés indépendantes assurant respectivement la consommation publique, lirrigation et la production hydroélectrique.

Dun commun accord et dans un esprit de collaboration, les partenaires peuvent décider de modifier temporairement les parts légales dans le but de retirer un revenu globalement supérieur à celui dont ils bénéficieraient autrement : cet accroissement de revenu est le bénéfice de synergie de lensemble.

Bien que lincidence économique des nouvelles parts momentanément attribuées soit favorable à lensemble, ce ne sera sans doute pas le cas pour chacun ; il est donc essentiel détablir de règles précises de compensation des revenus individuels afin que chacun retrouve finalement un intérêt tangible dans lopération : ces règles doivent permettre à chaque partenaire de bénéficier au minimum du revenu quil obtiendrait hors alliance, auquel sajoutera une part du bénéfice de synergie qui soit en rapport avec sa propre contribution à ce dernier.

Mode de répartition stable

Considérons m acteurs se partageant une ressource limitée. Supposons que chacun deux soit en mesure délaborer une fonction décrivant lavantage (on parlera ici de revenu) que leur procurerait une part (variable) de la ressource dont il disposerait en propre au sein dune alliance, ceci durant une période limitée et la même pour tous. Supposons également que chaque acteur valide lobjectivité des fonctions des autres.

Propriétés naturelles des fonctions de revenu :

  • Chaque % de ressource supplémentaire accordée à un acteur lui apporte généralement une augmentation de son revenu : cest une propriété de croissance de la fonction. Il est possible, bien que ce soit peu fréquent, quà partir dune quantité de ressource très élevée, la fonction se mette à décroître : « trop cest trop » et lacteur doit payer pour détruire un excédent de ressource dont il ne sait plus que faire.
  • A chaque % de ressource supplémentaire accordée à un acteur, laugmentation de son revenu satténue au fur et à mesure que sa part augmente : cest une propriété de concavité de la fonction (lallure de la fonction a la forme dun « bol renversé » : tout segment dont les extrémités se situent sur le graphe se trouve intégralement « au-dessous » du graphe).


Considérons les notations et hypothèses suivantes :

  • \hat p_i est la part contractuelle de lacteur i comprise entre 0 et 1,
  • \sum_{i=1}^{m} \hat p_i = 1 indique que la totalité de la ressource est distribuée,
  • \displaystyle f_i(p_i) désigne la fonction de revenu dépendant de la part \displaystyle p_i (inconnue comprise entre 0 et 1),
  • f_i(\hat p_i) est le profit de lacteur i découlant de sa part contractuelle.


La maximisation du profit total sobtient en résolvant le problème suivant :

Trouver les inconnues \displaystyle p_i satisfaisant 0 \leqslant p_i \leqslant 1 qui maximisent
\Phi(\vec{p}) = \sum_{i=1}^{m} f_i(p_i)
sous la contrainte
\sum_{i=1}^{m} p_i = 1.

Puisque les parts contractuelles \hat p_i sont des candidats admissibles, le profit total obtenu indépendamment par les acteurs \hat{\Phi} = \sum_{i=1}^{m} f_i(\hat p_i) est inférieur ou égal au profit maximal \displaystyle \Phi_{max}, valeur définie comme le maximum des \Phi(\vec{p}) sous respect des contraintes.

Le bénéfice global de synergie est alors la différence \Phi_{max} - \hat{\Phi}.

Lhypothèse de concavité des fonctions permet dassurer que ce problème admet toujours une solution et quil existe des méthodes simples et robustes permettant de la déterminer numériquement.

En particulier, il existe un scalaire \displaystyle \lambda (multiplicateur de Lagrange de la contrainte \sum_{i=1}^{m} p_i = 1) correspondant au revenu marginal de lensemble des acteurs par rapport à la quantité de ressource totale disponible (sil était possible daugmenter la ressource totale de 1 %, alors le revenu total de lalliance augmenterait denviron \displaystyle 0.01 \lambda).


Le mode de répartition suivant est stable au sens de la définition qui est donnée plus haut :

  • Au lieu dexploiter sa part contractuelle \hat p_i, lacteur i se voit attribuer la part \displaystyle p_i qui est la solution du problème précédent. A ce stade, la totalité de la ressource disponible est bien répartie entre les acteurs.
  • Afin de compenser lécart de part de lacteur i, il échange avec un « pot commun » le montant M_i = \lambda (p_i - \hat p_i) qui doit être versé si \displaystyle M_i > <span class=0" border="0"> ou retiré du pot si \displaystyle M_i < 0.
  • Puisque \sum_{i=1}^{m} \hat p_i = \sum_{i=1}^{m} p_i = 1, la somme algébrique des échanges avec le pot commun est nulle.

Avec ce mode de répartition, le profit de lacteur i atteint en fin de compte le montant

S_i = f_i(p_i) + \lambda (\hat p_i - p_i).


On vérifie que ce nouveau profit ne peut pas être inférieur au profit f_i(\hat p_i) obtenu hors alliance avec la part contractuelle. Graphiquement, la droite de pente \displaystyle \lambda passant par le point (p_i,\, f_i(p_i)) est une tangente à la courbe en ce point. Par concavité, cette tangente est située « au-dessus » du graphe de la fonction.

Le bénéfice de synergie qui revient en propre à lacteur i, (cest à dire son intérêt économique à participer à lalliance) est alors la différence dordonnées entre la tangente et la fonction calculée à labscisse \hat p_i.

Synergie de financements

Tel que décrit ci-dessus, le mode de répartition dune ressource limitée sapplique à dautres domaines, en particulier celui de lemprunt et du financement.

Il est économiquement naturel que, plus le montant emprunté par un acteur augmente (toute chose étant égale par ailleurs), plus le coût (ou le taux dintérêt) augmente. Au niveau de lentreprise, le rendement espéré des obligations reste inférieur à celui des actions, la raison sous-jacente étant la nature différente des risques en cas de défaut de lémetteur.

En dautres termes, chaque tranche demprunt supplémentaire devrait théoriquement coûter un peu plus cher que les tranches précédentes : le taux marginal est croissant. Ainsi, la fonction qui, à un montant total emprunté par un acteur, associe le coût (annuel) satisfait une propriété de convexité.


Sur la base de ce constat, plusieurs acteurs peuvent envisager un partenariat au sein duquel les emprunts sont centralisés, ceci afin de réaliser un bénéfice de synergie sur le coût total du capital. Le mécanisme dune répartition stable de ce bénéfice est en tout point semblable à celui développé ci-dessus : il suffit de changer le signe de la fonction convexe de coût du capital pour obtenir une fonction concave de profit.

Une telle approche se différencie très significativement dune simple mutualisation des dettes respectives et des risques associés : en effet, chaque acteur trouvera un avantage réel au sein du partenariat et ne sera surtout pas contraint de se financer aux conditions moyennes de lensemble (ce qui serait à lévidence une approche totalement instable).

Application aux dettes nationales des membres de lUE

Au sein de lUE, les mêmes considérations permettent daffirmer que la somme des coûts des dettes nationales (contractées isolément) excède le coût de la dette totale acquise de manière centralisée par la BCE au nom de ses membres.

Il y aurait ainsi un intérêt tangible à mettre en œuvre un tel mécanisme car il apporte une contribution significative à la résolution du problème de la crise de la dette. Ne pas exploiter ce bénéfice de synergie revient simplement à prélever ce même montant des fonds publics pour en faire cadeau aux marchés financiers.

Dans ce contexte, les bases dun partenariat consistent à :

  • substituer les dettes nationales par des Euro-obligations,
  • évaluer consensuellement chacun des coûts spécifiques des dettes nationales (taux moyens estimés des emprunts en fonction du montant de la dette),
  • quantifier le bénéfice de synergie ainsi dégagé,
  • le répartir entre tous les membres de manière « appropriée ».


En pratique, chaque membre i de lUE élabore en accord avec les autres une courbe fi(di) caractérisant le plus objectivement possible le coût annuel dune dette di qui, à ce stade, reste un paramètre. Ces fonctions tiennent compte de nombreuses spécificités propres (tels le PIB, la capacité de létat à couvrir ses dépenses et les mesures prises pour y parvenir, les taux de chômage et de croissance, les fonds publiques du patrimoine, etc). Bien que la tâche ne soit pas aisée, il est sans doute plus facile de trouver un compromis sur les profils de ces courbes que de convaincre les « bons élèves » à payer pour les autres.

Partant de ces fonctions et des dettes effectives \hat d_i, il sagit de résoudre le problème suivant :

Trouver les inconnues d_i \geqslant  0 qui minimisent
\Psi(\vec{d}) = \sum_{i=1}^{m} f_i(d_i)
sous la contrainte
\sum_{i=1}^{m} d_i = \sum_{i=1}^{m} \hat d_i.


En particulier, la solution permet dévaluer le scalaire \displaystyle \lambda (multiplicateur de Lagrange de la contrainte) correspondant au coût marginal de la fonction objectif par rapport au membre de droite de la contrainte. \displaystyle \lambda permet finalement de déterminer le coût total à payer par chacun des membres pour le financement de sa propre dette, soit

M_i = f_i(d_i) + \lambda (\hat d_i - d_i)

(dont la somme atteint loptimum de la fonction objectif Ψmin).

Si les fonctions fi(di) correspondent à la perception des marchés, le montant Ψmin devrait correspondre au coût effectif du financement total. Sil subsiste un écart, il convient dadapter « uniformément » les fonctions des membres afin de résorber la différence.

Dans ce mécanisme, chaque membre perçoit un avantage dautant plus élevé que le coût marginal de sa propre dette sécarte du coût marginal \displaystyle \lambda de lensemble. Les seuls qui ne retirent quun faible avantage sont ceux dont la dette effective reste proche de la dette de la solution (\hat d_i \simeq d_i). Le bénéfice de synergie est alors principalement distribué entre les membres qui y contribuent, cest à dire les « bons » et aux « mauvais » élèves.

Synergie entre les risques

Dans le domaine de la gestion des risques et des effets indésirables provoqués par les aléas, il existe souvent au sein dun groupe dacteurs un gisement de synergie qui est peu ou imparfaitement exploité.

Assurance risque

Pour faire face aux catastrophes, les compagnies dassurances ont développé des mécanismes de mutualisation des risques comme le feu, les risques naturels, la santé, la responsabilité civile, etc. Les clients qui signent un tel contrat préfèrent verser une prime annuelle au lieu dassumer seuls la probabilité dun sinistre. Ils estiment ainsi bénéficier dune part du bénéfice de synergie, même si une partie de ce dernier reste entre les mains de lassureur.

Il convient de rappeler que le bénéfice de synergie ne se manifeste pas ici en terme damélioration de lespérance de profit : au contraire, lespérance de coût augmente pour celui qui contracte une police dassurance, ne serait-ce que pour verser les marges de lassureur. Par contre, le bénéfice du client se mesure par une augmentation de son utilité, ou plus simplement du bien-être engendré par sa sécurité.

Produit dérivé

Dans le domaine de la finance, les produits dérivés permettent de transférer des risques (relatifs à une évolution des prix futurs) entre un agent qui y est sensible et un autre moins vulnérable. Il sagit bien ici dune forme spécifique de cogestion des risques par exploitation dune synergie particulière entre divers acteurs du marché.

Synergie entre les aléas de résultats

Nombre dentreprises sont plus ou moins vulnérables à certains phénomènes externes ou exogènes qui influencent leurs résultat financiers et volatilisent les bénéfices ; ces aléas exercent simultanément un effet néfaste sur le coût du capital. Pour y faire face, les entreprises cherchent à diversifier leurs activités. Dans le domaine des aléas météorologiques, un vendeur de parapluies et un vendeur de crèmes solaires constituent un exemple académique qui, malgré sa naïveté, illustre assez bien le problème.

Lorsque les entreprises subissent des effets qui sont essentiellement en opposition les uns aux autres, il est évident que la création dun partenariat apporte un avantage global. Il est moins intuitif de vérifier la validité de lassertion précédente lorsque les effets sont statistiquement indépendants, et même lorsquils sont corrélés positivement, cest à dire sils ont une propension à sorienter dans le même sens.

Lintérêt réside moins dans un transfert de risques (typiques des produits dérivés) que dans une mise en commun conduisant à une atténuation ou une dilution des aléas individuels.

Au sein dun partenariat, les membres sont incités à mettre en œuvre un mécanisme de compensation des aléas dans le but de régulariser leurs résultats respectifs et de réduire les fluctuations des bénéfices. Le bénéfice de synergie ne se manifeste donc pas par une augmentation de lespérance des résultats respectifs, mais par une réduction de leurs variabilités (ou de leur écarts types).

Mécanisme naturel

Description dun mécanisme particulier qui, par son mode de répartition, peut être qualifié de « naturel » :

  • Choix dune période commune à tous : ce sont par exemple les bénéfices annuels qui sont visés et le processus de compensation est ainsi mis en œuvre chaque année.
  • Choix des variables spécifiques : chaque partenaire i détermine une variable aléatoire « objective » xi despérance nulle expliquant au mieux les écarts de son bénéfice noté bi ; en dautres termes, la variable xi est choisie de sorte à minimiser lécart type de la différence, soit σ(bi xi) (ce qui nécessite une corrélation positive entre les deux variables).
  • Acceptation par tous les partenaires des variables choisies et des modalités de la répartition finale.
  • Répartition finale : en fin de période, lorsque les réalisations \bar x_i des variables xi sont connues de tous, les partenaires exploitent un « pot commun » dans lequel chacun verse (ou retire) le montant \bar x_i, puis le solde du pot (qui peut être négatif) est finalement réparti entre tous en proportion des écarts types σ(xi) respectifs.

Conditions pratiques requises pour la mise en œuvre de ce mécanisme :

  • Les variables choisies doivent être objectives : leurs valeurs passées sont connues de tous et aucun partenaire ne doit pouvoir, de quelque façon que ce soit, influencer les réalisations du futur.
  • Chacun doit pouvoir constater que les espérances des variables sont nulles (il suffit de retrancher les valeurs espérées).
  • Les écarts types de chaque variable et de la somme doivent pouvoir être quantifiés.


Ces conditions sont satisfaites lorsque les variables choisies sont, par exemple, des combinaisons de variables météorologiques dont les paramètres statistiques et les réalisations sont publiés par des services officiels. Il est également possible denvisager des variables sexprimant comme des fonctions dune ou de plusieurs variables : cest une approche pertinente pour un producteur agricole dont la récolte est sensible à la fois à un excès et à un manque de précipitation.


Ce mécanisme assure à chacun une réduction de sa variabilité. Plus précisément, la variabilité initiale du partenaire i caractérisée par \displaystyle \sigma(x_i) diminue dun certain facteur, la variabilité finale atteignant F \, \sigma(x_i) \displaystyle F est défini par

F = \frac{\sigma(\sum_i x_i)}{\sum_i \sigma(x_i)} \leqslant 1.

Note : linégalité F \leqslant 1 découle de linégalité triangulaire qui se vérifie pour lécart type.

Dans la situation particulière F = 1, chaque partenaire retire du pot un montant identique à celui quil a versé et il ny a en fin de compte aucun échange. Elle se produit uniquement dans le cas toutes les variables xi sont identiques à un coefficient multiplicatif positif près (coefficient de corrélation égal à 1 pour tout couple). Dans ce cas, il ny a évidemment aucun bénéfice de synergie possible sur la variabilité, et aucun avantage à retirer dun partenariat.


Il est facile de vérifier que ce mode de répartition du pot en proportion des σ(xi) peut parfois inciter économiquement un sous-groupe à se séparer de lensemble : la stabilité du mécanisme naturel nest pas assurée dans toutes les situations. Il est dailleurs très fréquent de constater linstabilité de ce mécanisme, ceci dautant plus que le nombre de partenaires est élevé.

Mécanisme général

Sans changer les principes de sa mise en œuvre, le mécanisme naturel précédent peut être adapté en modifiant uniquement les poids prédéfinis qui fixent la répartition du pot entre les partenaires. Ces poids ne peuvent être définis quen fonction des seules caractéristiques statistiques des variables \displaystyle x_i (comme cest le cas avec le mécanisme naturel).

Dans une formulation linéaire générale basé sur des poids \displaystyle p_i dont la somme est égale à 1, le processus permet au partenaire i de transformer son écart réalisé \bar x_i en un écart effectif \bar y_i défini par

\bar y_i = p_i \sum_j \bar x_j

La détermination des poids nécessite la connaissance de la matrice de covariance des \displaystyle x_i ou, ce qui revient au même, la connaissance de lécart type de toute somme partielle des \displaystyle x_i.

Problématique de la stabilité

Dans le cadre du mécanisme général, une question importante est la détermination dune pondération assurant la stabilité du processus de répartition et, le cas échéant, la caractérisation des conditions sous quelles il est possible dassurer lexistence dune telle pondération.

Pour la répartition dun bénéfice de synergie, la question de la stabilité ne se présente pas de la même manière lorsquil sagit de profits ou de risques ; en effet, le caractère additif du premier type de synergie ne se vérifie pas dans le second.

Considérons m partenaires dont chacun a choisi sa propre variable \displaystyle x_i. Notons \displaystyle x la somme des \displaystyle x_i qui est lallocation totale du pot à répartir entre les partenaires ; notons encore \displaystyle (x_i, x_j) la covariance des deux variables.

Sous certaines hypothèses (qui ne sont de loin pas respectées dans toutes les situations), la propriété suivante donne une solution aisée à déterminer :

Propriété —  Lorsque (x_i, x) \geqslant 0 \; \forall i, une pondération conduisant à un mécanisme stable est donnée par p_i = \frac{(x_i, x)}{\sigma ^2(x)}.

Cette propriété ne sapplique ainsi quaux situations les corrélations respectives entre les variables des acteurs et leur somme sont positives : ce ne sont donc pas les meilleures conditions pour générer une synergie élevée entre les risques.


En pratique et pour une situation donnée, on peut résumer de la manière suivante le processus de recherche dune pondération opérationnelle :

  • Si σ(x) = 0, les poids ne jouent pas de rôle : cest une situation idéale qui est parfaitement stable.
  • Dans la situation (x_i, x) \geqslant 0 \; \forall i, la propriété ci-dessus fournit une pondération stable.
  • Avec deux partenaires, il existe toujours une pondération stable :
    • La situation respectant les hypothèses de la propriété précédente.
    • Le cas contraire lun des partenaires (disons le premier) satisfait \displaystyle (x_1, x) < 0 et lautre nécessairement \displaystyle (x_2, x) > <span class=0" border="0"> : on pose alors \displaystyle p_1 = 0 et \displaystyle p_2 = 1 qui est une solution stable apportant un avantage réel à chacun des deux partenaires.
  • Dans toute situation, il est possible de formuler un problème dont la solution fournit une pondération stable lorsquil en existe une.
  • Lorsquil nexiste pas de pondération stable, le partenariat risque tôt ou tard déclater, ceci quel que soit le mécanisme linéaire de répartition du pot. Pour y remédier, une solution consiste à trouver dautres partenaires supplémentaires dont les variables contribuent à augmenter la synergie de lensemble, ou encore éventuellement dexclure certains partenaires qui y contribuent peu. Dautres approches envisageables ne résolvent quimparfaitement le problème de stabilité :
  1. Répartition hiérarchique : extraction de certains sous-groupes constitués de partenaires bénéficiant à linterne dune synergie élevée (typiquement les sous-groupes incités à quitter le partenariat) ; chaque tel sous-groupe établit ses propres règles de partenariat et de répartition (stable) ; chaque sous-groupe ainsi constitué se comporte comme un partenaire au sein dun partenariat de niveau supérieur.
  2. Séparation des partenaires en deux groupes : le groupe \displaystyle a constitué de ceux qui satisfont (x_i, x) \geqslant 0 et le groupe \displaystyle b constitué des autres. Les poids sont alors définis de la manière suivante :
q_i = \frac{(x_i, x)}{\sigma ^2(x)} \quad \forall i \in a,
p_i = \frac{q_i}{\sum_{j \in a} q_j} \quad \forall i \in a,
p_i = 0 \quad \forall i \in b.
Avec ces pondérations, la stabilité de la répartition est assurée au sein de chacun des deux sous-groupes. Les seuls problèmes concernent les incitations à se séparer pour un ensemble de partenaires appartenant collectivement aux deux sous-groupes ; cependant, puisque les partenaires appartenant au groupe \displaystyle b ont pu éliminer la totalité de leur variabilité, il faudrait leur proposer un avantage supplémentaire pour quils acceptent de se regrouper avec dautres partenaires du groupe \displaystyle a.
Dans la situation toujours instable présentée comme premier exemple pour le mécanisme naturel, à savoir 3 partenaires dont les variables respectives xi et le total x sont les mêmes au signe près (x1 = x2 = x3 = x), la séparation en deux groupes implique a = {1,2}, q1 = q2 = 1, p3 = 0 et p1 = p2 = 0.5. Ainsi, le 3e partenaire (qui est le seul à produire un bénéfice de synergie) se libère totalement de sa variabilité et les deux autres se partagent le pot à parts égales. Il semble évident que cette solution, bien quinstable, reste la moins risquée pour le partenariat.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Bénéfice de synergie de Wikipédia en français (auteurs)

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