Théorème des suites adjacentes

En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Définition

Deux suites réelles $(a n)$ et $(b n)$ sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0.

On supposera par la suite que $(a n)$ est croissante et $(b n)$ est décroissante.

On trouve souvent la condition supplémentaire : pour tout entier n, $a_n \leqslant b_n$ .

Cette condition permet de mieux visualiser ce que représentent deux suites adjacentes, elle n'est cependant qu'une conséquence des deux autres conditions. En effet, si $(a n)$ est croissante et $(b n)$ décroissante alors $(b n - a n)$ est décroissante. Si la suite $(b n - a n)$ est décroissante et converge vers 0 alors $(b n - a n)$ est une suite à termes positifs. Donc, pour tout n, $b_n - a_n \geqslant 0$ donc $b_n \geqslant a_n$ .

On peut même observer que pour tous entiers p, q (non nécessairement égaux), $a_p \leqslant b_q$ .

En effet, si $p\leqslant q$ alors $a_p\leqslant a_q\leqslant b_q$ , et si $p\geqslant q$ alors $a_p\leqslant b_p\leqslant b_q$ .

Énoncé

Théorème des suites adjacentes — Soient $(a n)$ et $(b n)$ deux suites adjacentes (où $(a n)$ est croissante et $(b n)$ est décroissante). Alors ces deux suites sont convergentes, et ont la même limite $\ell\in \R$ . De plus, pour tout entier naturel $n$ , $a_n \leqslant \ell \leqslant b_n$ .

Ce théorème est une conséquence de la propriété de la borne supérieure : tout ensemble de réels non vide et majoré possède une borne supérieure. Ce théorème n'est donc pas valable si on travaille dans l'ensemble des rationnels et que l'on cherche une limite rationnelle.

On démontre même que cette propriété est équivalente à celle de la borne supérieure (voir l'article Construction des nombres réels). Elle offre l'avantage, par rapport à la propriété des suites croissantes majorées, de faire plus que prouver la convergence d'une suite. Elle en donne un encadrement aussi fin qu'on le souhaite.

Démonstration

La suite ( $a n$ ) est croissante, et majorée par $b 0$ . Or on déduit de l'hypothèse de la borne supérieure que toute suite croissante et majorée converge. La suite ( $a n$ ) admet donc une limite $\ell$ . Puisque la suite ( $b n - a n$ ) converge vers 0, on en déduit que la suite ( $b n$ ) converge également vers $\ell$ .

De plus, pour tout n, $a_n \leqslant \ell \leqslant b_n$ : la première inégalité se déduit, par passage à la limite, de $\forall q,\ a_n\leqslant b_q$ , et la seconde se déduit de $\forall p,\ a_p\leqslant b_n$ .

Utilisation

On rencontre le théorème des suites adjacentes dans tous les problèmes utilisant la méthode de la dichotomie, dans le développement décimal d'un réel, dans l'écriture en fraction continue ainsi que dans de nombreux problèmes de quadrature (quadrature du cercle, de la parabole).

On retrouve une variante des suites adjacentes dans le critère de Leibniz sur les séries alternées : si ( $u n$ ) est une suite à termes positifs décroissante et convergeant vers 0, la série $S_n= \sum_0^n (-1)^ku_k$ converge.

En effet, les suites (

a n

) et (

b n

) définies par

b n = S 2 n

a n = S 2 n + 1

sont des suites adjacentes qui convergent donc vers la même limite $\ell$ .

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