Theoreme des suites adjacentes

Theoreme des suites adjacentes

Théorème des suites adjacentes

En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Définition

Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante au sens large et si la différence des deux tend vers 0.

On supposera par la suite que (an) est croissante et (bn) est décroissante.

On trouve souvent la condition supplémentaire : pour tout entier n, a_n \leqslant b_n. Cette condition permet de mieux visualiser ce que représentent deux suites adjacentes, elle n'est cependant qu'une conséquence des deux autres conditions. En effet, si (an) est croissante et (bn) décroissante alors (bn − an) est décroissante. Si la suite (bn − an) est décroissante et converge vers 0 alors (bn − an) est une suite à termes positifs. Donc, pour tout n, b_n - a_n \geqslant 0 donc b_n \geqslant a_n.

Énoncé

Théorème des suites adjacentes — Soient (an) et (bn) deux suites adjacentes (où (an) est croissante et (bn) est décroissante). Alors ces deux suites sont convergentes, et ont la même limite \ell\in \R. De plus, pour tout entier naturel n, a_n \leqslant \ell \leqslant b_n.

Ce théorème est une conséquence de la propriété de la borne supérieure: tout ensemble de réels non vide et majoré possède une borne supérieure. Ce théorème n'est donc pas valable si on travaille dans l'ensemble des rationnels et que l'on cherche une limite rationnelle.

On démontre même que cette propriété est équivalente à celle de la borne supérieure. Elle offre l'avantage, par rapport à la propriété des suites croissantes majorées, de faire plus que prouver la convergence d'une suite. Elle en donne un encadrement aussi fin qu'on le souhaite.

Démonstration

Si tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure alors deux suites adjacentes convergent vers la même limite

Si tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure, alors tout ensemble non vide minorée possède une borne inférieure. En effet, si E est un ensemble non vide minoré alors - E est un ensemble non vide majoré. Il possède une borne supérieure B. Alors -B est la borne inférieure de - E.
L'ensemble A = \{a_n, \quad n \in \mathbb N\} est un ensemble non vide majoré par b0. Il possède donc une borne supérieure Ma. Cette borne supérieure est la limite de la suite (an). En effet, pour tout \varepsilon positif, M_a - \varepsilon n'est pas un majorant de A. Donc il existe un entier N, tel que a_N \geqslant M_a - \varepsilon . Comme la suite est croissante, pour tout n \geqslant N, on aura M_a \geqslant a_n \geqslant M_a - \varepsilon. Ce qui prouve que la suite (an) converge vers Ma.
On démontre de même que la suite (bn) converge vers un réel Mb
Puisque la suite (bn − an) converge vers 0, on aura Ma = Mb. Les suites convergent donc vers la même limite

Si toutes suites adjacentes convergent vers la même limite alors tout ensemble non vide majoré possède une borne supérieure.

Soit E un ensemble contenant un élément x et majoré par M.
Si x est un majorant de E alors x est la borne supérieure de E.
Sinon, on procède par dichotomie pour prouver que E\, possède une borne supérieure (plus petit des majorants). On crée deux suites (a_n)\, et (b_n)\, définies par récurrence de la manière suivante :
a_0=x\, et b_0 = M\,
pour tout entier n\,,
si a_n+b_n \over 2 est un majorant , a_{n+1} = a_n\, et b_{n+1}={a_n+b_n \over 2 }
si a_n+b_n \over 2 n'est pas un majorant , a_{n+1} = {a_n+b_n \over 2 } et b_{n+1}=b_n\,
Le principe de construction assure que
la suite (an) est une suite croissante dont aucun terme n'est majorant de E
la suite (bn) est une suite décroissante dont tous les termes sont majorants de E
pour tout entier n, |b_n - a_n|= 2^{-n}(M-x)\,, donc la suite (bn − an) converge vers 0.
Les suites sont donc adjacentes et convergent vers la même limite \ell.
Il reste à montrer que \ell est bien la borne supérieure.
Pour tout réel y\, de E\,, y \leqslant b_n car b_n\, est un majorant. Donc par passage à la limite, pour tout réel y\, de E\,, y \leqslant \ell. \ell est donc bien un majorant de E\,.
Pour tout réel M'\, majorant de E\,, a_n < M'\, car a_n\, n'est jamais un majorant. Par passage à la limite, pour tout majorant M'\, de E\,, \ell\leqslant M'. \ell est bien le plus petit des majorants.

Pour tout n, a_n \leqslant \ell \leqslant b_n

C'est une simple conséquence de la construction de la limite \ell. C'est la borne supérieure de l'ensemble A = \{a_n, \quad n \in \mathbb N\} donc, pour tout entier n, a_n \leqslant \ell. C'est la borne inférieure de l'ensemble B = \{b_n, \quad n \in \mathbb N\} donc, pour tout entier n, b_n \geqslant \ell.

Utilisation

On rencontre le théorème des suites adjacentes dans tous les problèmes utilisant la méthode de la dichotomie, dans le développement décimal d'un réel, dans l'écriture en fraction continue ainsi que dans de nombreux problèmes de quadrature (quadrature du cercle, de la parabole).

On retrouve une variante des suites adjacentes dans le critère de Leibniz sur les séries alternées : si (un) est une suite à termes positifs décroissante et convergeant vers 0, la série S_n= \sum_0^n (-1)^ku_k converge.

En effet, les suites (an) et (bn) définies par bn = S2n et an = S2n + 1 sont des suites adjacentes qui convergent donc vers la même limite \ell.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me des suites adjacentes ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme des suites adjacentes de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème des suites adjacentes — En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Définition Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes si l une des suites est… …   Wikipédia en Français

  • Suites adjacentes — Théorème des suites adjacentes En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Définition Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes …   Wikipédia en Français

  • Théorème des séries alternées — Critère de convergence des séries alternées En analyse, il existe un critère de convergence spécifique aux séries alternées de réels, c est à dire aux séries dont les termes généraux prennent alternativement les signes positif et négatif. Ce… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des valeurs intermediaires — Théorème des valeurs intermédiaires Pour les articles homonymes, voir TVI. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle. Il indique que si une fonction… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des valeurs intermédiaires — Pour les articles homonymes, voir TVI. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle. Il indique que si une fonction continue sur un intervalle prend deux… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des fermés emboités — En mathématiques, plus précisément en topologie, le théorème des fermés emboîtés affirme que si un espace métrique (E,d) est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides Fn de E dont le diamètre tend vers zéro, l intersection… …   Wikipédia en Français

  • Corps des réels — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Construction des nombres réels — En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont les coupures de Dedekind, les suites de Cauchy. Sommaire 1 Construction intuitive à partir des nombres décimaux 2 Construction par les… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”