Théorème des séries alternées

Théorème des séries alternées

Critère de convergence des séries alternées

En analyse, il existe un critère de convergence spécifique aux séries alternées de réels, c'est-à-dire aux séries dont les termes généraux prennent alternativement les signes positif et négatif. Ce critère porte parfois le nom de règle de Leibniz, le mathématicien et philosophe Gottfried Leibniz en ayant fourni la première preuve.

Ce critère s'accompagne d'un résultat de majoration pour la valeur absolue du reste de la série, qui permet par exemple d'effectuer l'étude du signe de la somme de la série, ou d'écrire un algorithme de calcul approché de cette somme.

Sommaire

Présentation du critère

Énoncé

Une série alternée est une série de réels \sum u_n vérifiant :

  • \forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_n \cdot u_{n+1} \leq 0,

autrement dit le signe d'un terme et du terme suivant sont toujours différents.

Si la série vérifie en outre les deux hypothèses suivantes

  • \forall n \in \mathbb{N}, \qquad \left| u_{n+1} \right| \leq \left| u_n \right| (les termes généraux décroissent en valeur absolue)
  • u_n \longrightarrow 0 (le terme général tend vers 0).

alors il s'agit d'une série convergente.

En outre, sous ces hypothèses, le reste d'ordre n

  • a sa valeur absolue majorée par celle de son premier terme
|R_n| = \left|\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\right|\leq |u_{n+1}|
  • est du signe de son premier terme.

Preuve

Pour prouver le critère, on note (Un) la suite partielle d'ordre n de la série. Les hypothèses faites sur les termes généraux donnent successivement

0\leq U_0 \qquad 0\leq U_1\leq U_0 \qquad 0\leq U_1\leq U_2 \leq U_0

et, plus généralement

0\leq U_1\leq U_3 \leq \dots \leq U_{2n+1}\leq U_{2n+3}\leq \dots \leq U_{2n+2}\leq U_{2n} \leq \dots \leq U_2 \leq U_0

Ainsi les suites (U_{2n})_{n\in \N} et (U_{2n+1})_{n\in \N} sont l'une décroissante, l'autre croissante. Leur différence tend, par hypothèse, vers 0. Le théorème des suites adjacentes s'applique et montre que ces deux suites convergent vers une limite commune U. Mais alors la suite (U_{n})_{n\in \N} admet elle-même pour limite U.

Ensuite l'inégalité concernant le reste se lit directement dans les inégalités précédentes, en soustrayant U à chaque terme. La remarque sur le signe du reste en découle.

Exemples

  • La série de terme général \frac{(-1)^n}{2^n} est convergente : le critère ci-dessus le démontre ! Il s'agit d'ailleurs simplement d'une série géométrique.
  • La série harmonique alternée est la série de terme général
u_n = \frac{(-1)^n}n

Elle vérifie toutes les hypothèses du théorème, ce qui montre la convergence de la série, alors qu'elle n'est pas absolument convergente (voir série harmonique).

  • Plus généralement, les séries de Riemann alternées sont l'analogue des séries de Riemann, mais avec une alternance en signe. Elles ont un terme général de la forme
u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha}

avec un exposant réel α.

* si \alpha \leq 0, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement
* si \alpha >0\, les hypothèses du critère sont vérifiées, et la série converge.

Ainsi la série de terme général \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} est convergente, bien qu'elle ne soit pas absolument convergente.

  • Contre-exemple : la série dont le terme général vaut alternativement 1 / n et − 1 / (2n) n'est pas convergente.

Applications du critère

Détermination de la nature d'une série

Une des hypothèses de la règle de Leibniz, la décroissance, peut être de vérification délicate. Pour de nombreux exemples concrets, il est rare d'appliquer la règle de Leibniz directement. Il arrive souvent qu'elle serve à traiter les premiers termes du développement asymptotique du terme général d'une série numérique.

Par exemple, considérons la série de terme général \frac{(-1)^n}{n -n^{1/2}}. Converge-t-elle ?

\frac{(-1)^n}{n -n^{1/2}}=\frac{(-1)^n}{n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)

Le critère de Leibniz s'applique au premier terme. Le second terme est le terme général d'une série absolument convergente. Donc, la série converge. Notons qu'un simple équivalent n'aurait pas suffi : on a besoin d'une estimation précise du reste, parfois de pousser le développement asymptotique à plusieurs ordres.

Algorithme de calcul approché de la somme

Article détaillé : Calcul numérique d'une somme de série.

Si la règle de Leibniz s'applique, le fait de disposer d'une majoration du reste permet de produire un algorithme de calcul approché de la somme de la série. En effet, dès lors que le majorant du reste \left| u_{n+1}\right| est lui même majoré par ε, on peut affirmer que la suite des sommes partielles est une valeur approchée de la somme de la série à ε près.

L'algorithme pourra donc s'écrire

  • Valeur d'entrée : la précision souhaitée ε
  • Initialisations S\leftarrow u_0, n\leftarrow 0
  • Tant que \left| u_{n+1}\right|\geq \varepsilon , ajouter un terme : S\leftarrow S+u_{n+1} et ajouter 1 à n.
  • Valeur de sortie S

Sur des exemples tels que la série harmonique alternée \sum\frac{(-1)^n}n la convergence est fort lente puisque il faut calculer N>\frac1{\varepsilon} termes pour atteindre une précision de ε.


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