- Théorème des fermés emboités
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En mathématiques, plus précisément en topologie, le théorème des fermés emboîtés affirme que si un espace métrique (E,d) est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides Fn de E dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des Fn est réduite à un point.
Démonstration- Si on prend un élément xn dans chaque Fn, la suite (xn) est de Cauchy. En effet, pour un ε>0 fixé, il existe un rang N tel que le diamètre de FN soit majoré par ε, et en particulier d(xn,xm)≤ε pour tous m,n≥N. Cette suite est donc convergente car E est complet.
- De plus, sa limite x appartient à chaque Fn. En effet, pour tout n, la suite
est à valeurs dans Fn (puisque 
) donc sa limite x aussi (puisque Fn est fermé). On a donc prouvé que l'intersection des Fn est non vide. - Enfin, elle est réduite à un point puisque son diamètre est nul (car majoré par tous les diamètres des Fn, dont l'inf est 0).
La réciproque de ce théorème est vraie : si un espace métrique vérifie la propriété des fermés emboîtés alors il est complet. En effet, pour toute suite x, l'intersection des fermés emboîtés
est l'ensemble des valeurs d'adhérence de x, et la suite est de Cauchy si et seulement si la suite de leurs diamètres tend vers 0. Par conséquent, si l'espace vérifie la propriété des fermés emboîtés, alors toute suite de Cauchy possède une valeur d'adhérence, donc converge.Lorsque
et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend la forme suivante : soit [an,bn] une suite décroissante de segments de 
tels que bn − an tende vers zéro, alors l'intersection des segments [an,bn] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboîtés. On peut prouver, directement, ce cas particulier du théorème des fermés emboîtés, en remarquant que les suites (an) et (bn) sont alors adjacentes.Catégories :- Espace métrique
- Théorème de mathématiques
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