Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Théorème de Fréchet-Kolmogorov
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Fréchet-Riesz.

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz et/ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace Lp. Il constitue une variante Lp du théorème d'Ascoli, dont il peut se déduire.

Énoncé

Soient p\in[1,\infty[ et B\subseteq L^p(\mathbb{R}^n).

Le sous-ensemble B est relativement compact si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

  1. B est borné,
  2. \lim_{r\to\infty}\int_{|x|>r}\left|f\right|^p=0 uniformément sur B,
  3. \lim_{a\to 0}\Vert\tau_a f-f\Vert_{L^p(\mathbb{R}^n)} = 0 uniformément sur B, où τaf désigne la translatée de f par a, c'est-à-dire τaf(x) = f(x − a).

Références

v · Analyse fonctionnelle
Théorèmes Ascoli · Baire · Banach-Alaoglu · Banach-Mazur · Banach-Schauder · Banach-Steinhaus · Graphe fermé · Hahn-Banach · Lax-Milgram
Divers Fonctionnelle · Calcul des variations · Dérivée fonctionnelle · Espace de Banach · Algèbre de Banach · C*-algèbre · Espace de Hilbert · Espace de Fréchet · Variété banachique · Espace fonctionnel · Noyau reproduisant · Série de Fourier · Transformée de Fourier · Distribution · Topologie faible

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Fréchet-Kolmogorov de Wikipédia en français (auteurs)

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