Théorème de Rellich

Théorème de Rellich

Le théorème de Rellich est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Sommaire

Énoncé

Si Ω est un ouvert borné de classe de régularité C1, alors de toute suite bornée de H1(Ω) on peut extraire une sous-suite convergente dans L2(Ω) (on dit que l'injection canonique de H1(Ω) dans L2(Ω) est compacte).

Remarques

On se place dans ℝn.

H1(Ω) désigne un espace de Sobolev.

L2(Ω) désigne un espace Lp avec p = 2.

L'inclusion de H1(ℝn) dans L2(ℝn) n'est pas, elle, compacte.

Le caractère C1 de Ω a un sens particulier : il s'agit de la régularité du bord (en).

Démonstration

La preuve se base sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov qui caractérise les sous-ensembles relativement compacts de Lp(ℝn).

Voir aussi

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