Théorème de Darmois

Théorème de Darmois

Énoncé

Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de θ

  • Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon (X1,...,Xn) admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :

f(x,\theta) = \exp(a(x) \cdot \alpha(\theta) + b(x) + \beta(\theta)) (famille exponentielle)

  • Si la densité est de cette forme et si de plus l'application x_1 \to \sum_{i=1}^{n}a(x_i) est bijective et continûment différentiable pour tout i,

alors T = \sum_{i=1}^{n}a(X_i) est une statistique exhaustive particulière.

v · Probabilités et statistiques
Théorie des probabilités Axiomes des probabilités • Espace probabilisable • Probabilité • Événement • Tribu • Indépendance
Probabilités élémentaires Moyenne • Espérance • Médiane • Variance • Écart type
Loi de probabilité Variable aléatoire • Loi de Bernoulli • Loi de Poisson • Loi uniforme • Loi normale • Loi de Student • Loi de Fisher • Variables iid
Convergence de lois Théorème central limite • Loi des grands nombres • Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique Marche aléatoire • Chaîne de Markov • Processus stochastique • Processus de Markov • Martingale • Mouvement brownien • Équation différentielle stochastique
Statistiques
Statistique descriptive Échantillon • Quantile • Intervalle de confiance • Représentations de données • Histogramme • Diagramme circulaire • Boîte à moustaches • Régression linéaire • Méthode des moindres carrés
Statistique mathématique Fonction de répartition empirique • Théorème de Glivenko-Cantelli • Inférence bayésienne
Tests statistiques Test d'hypothèse • Hypothèse statistique • Estimateur • Test du χ² • Test t • Test de Fisher
Applications Économétrie • Mécanique statistique • Jeu de hasard • Biomathématique • Mathématiques financières


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