Théorème de Borel

Théorème de Borel
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ni Théorème de Borel-Lebesgue.

En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2],[3],[4],[5], ou lemme de Borel[6] est un résultat d'analyse, découvert par Émile Borel, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Sommaire

Énoncé simple

Pour toute suite (an) de nombres complexes, il existe une fonction f de classe C^{\infty}, définie au voisinage de 0, telle que :

\forall n \in \N, \; f^{(n)}(0)=a_n.

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0, il suffit en effet de prendre la fonction f associée à la suite \left((n!)^2\right).

Énoncé général

Soit U un ouvert de \R^n et (fn) une suite de fonctions de classe C^\infty à valeurs complexes sur U. Alors il existe une fonction F = F(t,x) de classe C^\infty à valeurs complexes sur \R \times U, solution de l'équation aux dérivées partielles :

\forall k \in \N, \; \forall x \in U,\qquad\frac{\partial^k F}{\partial t^k}(0,x) = f_k(x).

Une preuve constructiviste de ce résultat est donnée dans Golubitsky et Guillemin.

Notes et références

  1. ↑ Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3
  2. ↑ Jean-Michel Bony (de), Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76
  3. ↑ Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 88
  4. ↑ Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74
  5. ↑ Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127
  6. ↑ Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31

Source

  • (en) Martin Golubitsky et Victor Guillemin (en), Stable mappings and their singularities, New York, Springer-Verlag, coll. « GTM (en) » (no 14), 1974, 3e éd., poche (ISBN 978-0-387-90073-5) (LCCN 73018276) 

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