Théorème de Heine-Borel

En Topologie de , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

• A est fermé et borné (A est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de A) ;
• A vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement s'il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Suite à ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de est compact si et seulement si il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais n'est pas valable en dimension infinie. Il est traité dans l'article topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Démonstration

• Le segment [a, b] est compact :

Soit Ω un recouvrement ouvert du segment et M le sous-ensemble du segment composé des éléments m tel que le segment [a, m] admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω. L'objectif est de montrer que M est égal au segment.

M est non vide : En effet, il existe un ouvert ω de Ω contenant a car Ω est un recouvrement du segment. En conséquence, le sous-recouvrement fini composé uniquement de l'ouvert ω contient a, ce qui montre que a est élément de M.

M est un intervalle : En effet, soit m un élément de M et m' un élément de l'intervalle d'extrémités a et m. Alors le sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m] est aussi un sous-recouvrement fini de [a, m' ], ce qui montre que m' est aussi élément de M et donc que M est un intervalle.

M est un ensemble ouvert : En effet, soit m un élément de M et Ω' un sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m]. Il existe un ouvert ω' de Ω' contenant m. Si p est un élément de ω', alors le segment [a, p] est recouvert par le sous recouvrement fini Ω'. En conséquence tout point p de ω' est inclus dans M, ce qui montre que M est un ouvert.

M est un ensemble fermé : Il suffit, pour montrer cette propriété, de montrer qu'il contient sa borne supérieure β. Soit ω_β un ouvert de Ω contenant β. Il existe car Ω est un recouvrement ouvert de [a, b] et β un point de ce segment. Soit c un point strictement plus petit que β et élément de ω_β. Il existe un sous-recouvrement fini Ω_c de l'intervalle [a, c] car c est élément de M, par définition de β. Le sous-recouvrement formé des ouverts de Ω_c et de ω_β est un sous-recouvrement fini de [a, β], ce qui montre que β est élément de M.

Le seul intervalle non vide de [a, b] à la fois ouvert et fermé est le segment [a, b] lui-même. Ceci montre que b est un élément de M. Il est possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de [a, b], ce qui montre la compacité du segment.

• Un sous-ensemble de R non borné n'est pas compact.

Considérons le recouvrement Ω composé des intervalles ]-n, n[, où n décrit l'ensemble des entiers strictement positifs. Dire que le sous-ensemble S de R n'est pas bornée revient à dire qu'il n'est pas possible d'extraire un sous-recouvrement fini de Ω, et donc que S n'est pas compact.

• Un compact de R est un fermé borné.

Soit C un compact de R, alors il est fermé car tout compact l'est et la proposition précédente montre qu'il est borné.

Réciproquement soit C est fermé borné de R, alors c'est un fermé d'un segment, donc d'un compact et C est compact.

• Le produit de segments est compact dans Rⁿ.

Ce résultat est la conséquence du théorème de Tychonoff. Il stipule que tout produit de compact est compact.

• Les compacts de Rⁿ sont les fermés bornés.

Soit C un compact de Rⁿ, la démonstration sur R sur le caractère borné d'un compact s'applique encore, C est donc borné. Il est de plus fermé car tout compact l'est.

Réciproquement soit C un fermé borné de Rⁿ, la démonstration précédente montre que c'est un fermé d'un compact, donc un compact.

Voir aussi

• Lemme de Cousin

• Portail des mathématiques