Théorème de heine

Théorème de heine

Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de [a,b] dans \mathbb R est uniformément continue sur [a,b].

Sommaire

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Soit une fonction f de [a,b] dans \mathbb R, continue sur le segment [a,b]. Alors, f est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

f étant continue en tout point x, nous savons donc que :

\forall x \in [a,b], \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x,\epsilon} > 0 tel que \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_{x,\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment [a,b], c'est à dire que le α peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

 \forall x \in [a,b], \exists \alpha_x en  \exists \alpha, \forall x \in [a,b] .

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0 tel que \forall x \in [a,b], \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.

Démonstration

Fixons un ε > 0 et posons, pour tout x\in[a,b], \beta_x=\frac 1 2\alpha_{x,\epsilon/2} (où les αx,ε / 2 sont ceux liés à la continuité de f). Considérons [a,b]=\cup_{x\in[a,b]} \{x\} \subset \cup_{x\in[a,b]} B(x,\beta_x) . C'est un recouvrement de [a,b] par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : [a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_z) pour une certaine partie finie Z de [a,b].

Posons \alpha=min_{z\in Z}\beta_z. Alors, pour tous x,y\in[a,b] tels que | xy | < α, en choisissant un z\in Z tel que x \in B(z,\beta_z) on obtient | xz | < βz et |y-z|<\alpha+\beta_z\le 2\beta_z=\alpha_{z,\epsilon/2}, donc

|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de x, l'uniforme continuité est démontrée.

Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0 tel que \forall a,b\in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon.

Pour montrer cela, on peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement [a,b] par X, \mathbb R par Y, Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant f non uniformément continue sur X et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur X. Par hypothèse, il existe ε > 0 tel que pour chaque α > 0, l'implication d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon soit fausse pour certains a,b, en particulier tel que pour chaque n\in N^*, il existe deux points an et bn de X tels que

 d(a_n,b_n)<\frac{1}{n} et d'(f(a_n),f(b_n))\ge\epsilon.

La suite (an) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note \varphi\, l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation  d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac{1}{\varphi(n)} montre que  (b_{\varphi(n)}) converge aussi vers a. Il s'ensuit que pour tout η > 0, il existe x,y\in B(a,\eta) tels que d'(f(x),f(y))\geq\epsilon donc tels que d'(f(x),f(a))\geq\epsilon/2 ou d'(f(y),f(a))\geq\epsilon/2, ce qui prouve la non continuité de f au point a.

Voir aussi

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