Théorème de heine

Théorème de heine: Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de $[a, b]$ dans $\mathbb R$ est uniformément continue sur $[a, b]$ .

Sommaire

1 Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

1.1 Énoncé

1.2 Utilisation

1.3 Démonstration

2 Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

3 Voir aussi

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Soit une fonction $f$ de $[a, b]$ dans $\mathbb R$ , continue sur le segment $[a, b]$ . Alors, $f$ est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

$f$ étant continue en tout point x, nous savons donc que :
$\forall x \in [a,b], \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x,\epsilon} > 0$ tel que $\forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_{x,\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ .
Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment $[a, b]$ , c'est à dire que le $α$ peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :
$\forall x \in [a,b], \exists \alpha_x$ en $\exists \alpha, \forall x \in [a,b]$ .
La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :
$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0$ tel que $\forall x \in [a,b], \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ .
Démonstration

Fixons un $ε > 0$ et posons, pour tout $x\in[a,b]$ , $\beta_x=\frac 1 2\alpha_{x,\epsilon/2}$ (où les $α x,ε / 2$ sont ceux liés à la continuité de $f$ ). Considérons $[a,b]=\cup_{x\in[a,b]} \{x\} \subset \cup_{x\in[a,b]} B(x,\beta_x)$ . C'est un recouvrement de $[a, b]$ par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : $[a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_z)$ pour une certaine partie finie $Z$ de $[a, b]$ .

Posons $\alpha=min_{z\in Z}\beta_z$ . Alors, pour tous $x,y\in[a,b]$ tels que $| x - y | < α$ , en choisissant un $z\in Z$ tel que $x \in B(z,\beta_z)$ on obtient $| x - z | < β z$ et $|y-z|<\alpha+\beta_z\le 2\beta_z=\alpha_{z,\epsilon/2}$ , donc
$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$ .
La valeur $α$ trouvée étant bien indépendante de $x$ , l'uniforme continuité est démontrée.

Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques $X$ et $Y$ avec $X$ compact. On note $d$ la distance sur $X$ et $d'$ la distance sur $Y$ . Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de $X$ dans $Y$ est uniformément continue, ce qui s'exprime par :
$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall a,b\in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$ .
Pour montrer cela, on peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement $[a, b]$ par $X$ , $\mathbb R$ par $Y$ , Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant $f$ non uniformément continue sur $X$ et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur $X$ . Par hypothèse, il existe $ε > 0$ tel que pour chaque $α > 0$ , l'implication $d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$ soit fausse pour certains $a, b$ , en particulier tel que pour chaque $n\in N^*$ , il existe deux points $a n$ et $b n$ de $X$ tels que
$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d'(f(a_n),f(b_n))\ge\epsilon$ .
La suite $(a n)$ est à valeurs dans le compact $X$ donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\varphi\,$ l'extraction et $a$ la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac{1}{\varphi(n)}$ montre que $(b_{\varphi(n)})$ converge aussi vers $a$ . Il s'ensuit que pour tout $η > 0$ , il existe $x,y\in B(a,\eta)$ tels que $d'(f(x),f(y))\geq\epsilon$ donc tels que $d'(f(x),f(a))\geq\epsilon/2$ ou $d'(f(y),f(a))\geq\epsilon/2$ , ce qui prouve la non continuité de $f$ au point $a$ .

Voir aussi

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Catégories : Compacité | Théorème de topologie

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