Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers

Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers

En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la variation seconde.

Théorème (Bonnet, 1935) — Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive δ, alors son diamètre est borné par \pi/\sqrt{\delta} :

\forall x, k(x)\geq \delta>0\Rightarrow \mathrm{diam} M\leq \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}

En particulier, M est compacte.

Démonstrations
Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec L=d(p,q)>\pi/\sqrt{\delta}. Soit une géodésique \gamma:[0,L]\rightarrow M d'origine γ(0) = p et d'extrémité γ(L) = q. Prenons v un vecteur dans TpM, orthogonal à γ'(0). Introduisons le champ de vecteurs parallèle Z le long de γ d'origine Z(0) = v. Posons :
Y(t)=\sin\left[\frac{\pi t}{L}\right].Z(t)
Un calcul élémentaire donne :
Y'(t)=\frac{\pi}{L}\cos\left[\frac{\pi t}{L}\right] Z(t)
Soit {cs} une variation de courbes [0,L]\rightarrow M d'origine p et d'extrémité q avec c0 = γ et \partial s c_s|_{s=0}=Y. La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs Y, donne alors :
\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=\int_0^L \left[ \frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\left[\frac{\pi t}{L}\right] - k(\gamma'(t),Y(t))\sin^2\left[\frac{\pi t}{L}\right]\right] dt\leq \frac{\pi^2 -\delta L^2}{2L}<0
Ceci est absurde lorsque γ est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne.

Le cas d'égalité a été étudié (Shiu Yuen Cheng, 1975) :

Sous les notations précédentes, si le diamètre de M est égal à \pi/\sqrt{\delta}, alors (M,g) est isométrique à la sphère euclidienne de rayon 1/\sqrt{\delta}.

Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par (n − 1)δ, où n est la dimension de la variété.

Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant :

Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure strictement positive est fini.

Référence

(en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions], p. 243-246


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Bonnet-Schoenberg-Myers — Théorème de Bonnet Schoenberg Myers Le théorème de Bonnet Schoenberg Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de bonnet-schoenberg-myers — Le théorème de Bonnet Schoenberg Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Myers — Théorème de Bonnet Schoenberg Myers Le théorème de Bonnet Schoenberg Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Meyers — Théorème de Bonnet Schoenberg Myers Le théorème de Bonnet Schoenberg Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la… …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des theoremes — Liste des théorèmes Liste des théorèmes par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le… …   Wikipédia en Français

  • Liste des théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste de théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”