Projection stéréographique

Projection stéréographique du pôle sud sur le plan équatorial.

Une autre représentation de la projection stéréographique : on projette à partir du pôle nord sur le plan tangent au pôle sud.

Projection stéréographique de la figure de pôles d'un reseau cristallin de diamant selon l'axe [111] qui montre la symétrie le long de la diagonale d'espace du cube élémentaire.

En géométrie et en cartographie, la projection stéréographique est une méthode permettant de représenter une sphère privée d'un point sur un plan. On convient souvent que le point dont on prive la sphère sera un des pôles de celle-ci ; le plan de projection peut être celui qui sépare les deux hémisphères, nord et sud, de la sphère, qu'on appelle plan équatorial. On peut également faire une projection stéréographique sur n'importe quel plan parallèle au plan équatorial pourvu qu'il ne contienne pas le point dont on a privé la sphère.

Soit S le point situé au pôle sud de la sphère à projeter. L’image Z’ d’un point Z de cette sphère sera définie par l’intersection entre le plan équatorial et la droite (SZ). (Cette projection revient à observer la sphère à partir du pôle sud).

Deux propriétés importantes :

tout cercle sur la sphère — hormis ceux passant par le pôle sud — sera transformé en un autre cercle dans le plan équatorial ;
les angles sont conservés pendant la transformation (transformation conforme).

Remarques :

l’équateur reste lui-même durant cette transformation ;
un point de l’hémisphère nord sera projeté à l’intérieur de l’équateur (par exemple dans notre figure, H2 devient H2’ ), un point de l’hémisphère sud à l’extérieur (H1 devient H1’ ) ;
pour tracer un cercle projeté, il suffit donc de trouver deux points définissant un diamètre ;
on peut définir de façon analogue une projection à partir du pôle nord, comme le montre la deuxième figure.

La projection stéréographique était utilisée dans la conception des astrolabes arabes de l’époque médiévale. Elle est amplement utilisée en cristallographie pour étudier la symétrie morphologique des cristaux, et notamment pour représenter les formes cristallines, un exemple étant donné à la troisième figure.

Sommaire

1 Les mathématiques de la projection stéréographique
2 Projection stéréographique en cristallographie
- 2.1 Projection des éléments de symétrie
- 2.2 Représentation des formes cristallines
3 Notes et références
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Liens externes

Les mathématiques de la projection stéréographique

Aspect géométrique

Projection stéréographique du pôle nord sur un plan non équatorial.

Coupe d'une projection stéréographique par un plan passant par le centre de la sphère, le pôle nord et le point à transformer. Cette fois-ci, le plan de projection n'est pas équatorial.

Une sphère de dimension $n$ est l'ensemble des points de l'espace de dimension $n + 1$ situés à distance $r$ du centre de la sphère. Si on ne précise pas le type de distance, on utilise la distance euclidienne de deux points, de vecteurs de coordonnées $u$ et $v$ , distance donnée par la norme euclidienne du vecteur $v - u$ :

$|v-u|=\left(\sum_{j=1}^{n+1}|u_j-v_j|^2\right)^{1/2}$

La projection stéréographique permet de définir un homéomorphisme entre une sphère de dimension $n$ privée d'un point et l'espace de dimension $n$ . La démonstration qui suit est valable en dimension $n\ge 1$ quelconque, mais le cas particulier d'une sphère ordinaire peut être lu sans autre modification que de remplacer le mot « hyperplan » par le mot « plan » dans ce qui suit.

Géométriquement, notons $N$ (comme Nord) le point particulier dont on va priver la sphère. Soit $Π$ un hyperplan perpendiculaire au rayon déterminé par $N$ . On supposera que cet hyperplan plan n'est pas le plan tangent en $N$ à la sphère.

Soit $x\neq N$ un point de la sphère. Notons $D$ la droite déterminée par $x$ et $N$ ; cette droite n'est jamais parallèle au plan $Π$ , parce que seules les droites tangentes à la sphère en $N$ sont parallèles à $Π$ . En particulier, $D$ n'est pas entièrement contenue dans $Π$ . Il y a donc un unique point d'intersection de $D$ avec $Π$ . Ce point est l'image de $x$ par projection stéréographique. Réciproquement, si $X$ est un point du plan $Π$ , comme ce plan ne passe pas par $N$ , la droite déterminée par $X$ et $N$ coupe la sphère en $N$ et en un autre point $x$ , qui est l'image réciproque de $X$ par projection stéréographique.

Afin de comprendre visuellement ce qui se produit, on remarque que toute la construction se passe dans le plan de dimension $2$ déterminé par le centre de la sphère, $N$ et $x$ (ou $X$ ). On se rapportera à la figure faite dans ce plan pour bien voir la construction.

Aspect analytique

Du point de vue analytique, on simplifie le calcul en fixant l'origine des coordonnées au centre de la sphère, le pôle nord sur le $n + 1$ -ième axe de coordonnées, et le rayon de la sphère égal à l'unité. Les deux premiers choix sont simplement un choix de repère. Le dernier est un choix d'unité de longueur. Si on ne désire pas changer cette dernière, on pourra pratiquer une homothétie sur les formules ci-dessous, afin de traiter le cas d'une sphère de rayon $r$ quelconque.

Avec ces choix, la sphère unité $S n$ de $\mathbb{R}^{n+1}$ est définie par :

$S^n=\{x=(x_1,\dots,x_n, x_{n+1}):\sum_{j=1}^{n+1} \bigl|x_j\bigr|^2=1\}.$

Posons $y=(x_1,\dots, x_n), \quad s=x_{n+1}.$

Le point $N$ a pour coordonnées $y=0\in\mathbb{R}^n$ et $s = 1$ . L'hyperplan $Π$ a pour équation $s = h$ . Les points de $Π$ auront comme coordonnée courante $(ξ, h)$ , avec $\xi\in \mathbb{R}^n$ .

Géométriquement, $(y, s - 1)$ et $(ξ, h - 1)$ sont non nuls et colinéaires. Il existe donc un scalaire non nul $λ$ tel que

$y=\lambda \xi, \quad s-1=\lambda(h-1).$

Si on se donne $(y, s)$ dans $S n$ , on substitue $y$ par $λξ$ et $s$ par $1 + λ(h - 1)$ dans la relation de définition $| y | 2 + s 2 = 1$ . Un bref calcul fournit, après division par $\lambda\neq 0$ , la relation

$\lambda=\frac{2(1-h)}{|\xi|^2+(1-h)^2}.$

Le choix $h\neq 1$ assure que $λ$ est toujours bien défini. La valeur de $y$ et $s$ en fonction de $ξ$ est donc

$y=\frac{2(1-h)\xi}{|\xi|^2+(1-h)^2}, \quad s=\frac{|\xi|^2-(1-h)^2}{|\xi|^2+(1-h)^2}.$

Réciproquement, si $y$ et $s$ sont donnés, on aura

$\lambda=\frac{s-1}{h-1}, \quad \xi=\frac{(h-1)y}{s-1}.$

L'image par projection stéréographique d'un grand cercle passant par $N$ est une droite passant par le point $(0, h)$ . L'image d'un cercle quelconque tracé sur la sphère et passant par $N$ est la droite formée de l'intersection de $Π$ avec le plan déterminé par le cercle. L'image d'un cercle ne passant pas par $N$ est un cercle de l'hyperplan $Π$ .

Généralisation

Cinq exemples de « cercles » unité pour des normes non euclidiennes.

On peut définir la projection stéréographique de n'importe quelle sphère « arrondie » sur un plan : si la boule unité pour une norme de $\mathbb{R}^{n+1}$ est strictement convexe, c'est-à-dire si le bord de cette boule unité ne contient aucun segment de droite, alors la même construction fonctionne encore, mais le résultat peut dépendre fortement du choix du point $N$ , puisqu'une telle sphère n'est isotrope, c'est-à-dire invariante par rotations de l'espace de dimension $n + 1$ , que si elle est euclidienne.

La figure montre quelques « cercles » unité pour la norme

$|x|_p=\bigl(|x_1|^p+|x_2|^p\bigr)^{1/p},$

pour $p$ strictement compris entre $1$ et l'infini. Pour $p = 1$ et pour $p=\infty$ , le cercle unité relatif à ces normes n'est pas assez arrondi pour assurer l'unicité de la projection stéréographique, ou son existence.

Projection stéréographique en cristallographie

Abaque de Wulff, pas de 10°.

La projection stéréographique est utilisée pour représenter les formes cristallines des cristaux, leurs groupes ponctuels de symétrie, ainsi que l'orientation préférentielle des polycristaux. Le centre du cristal étudié est placé au centre d'une sphère imaginaire. C'est l'intersection avec cette sphère des éléments de symétrie du cristal ou des normales à ses faces qui est projetée sur le plan équatorial lors de la projection stéréographique.

On utilise pour la représentation une abaque de Wulff munie d'un repère de coordonnées, au centre duquel est placé le cristal. Le choix du repère de coordonnées dépend de la symétrie du cristal et en particulier de ses directions de symétrie. Les vecteurs de base du repère de coordonnées dans le plan équatorial sont représentés par des marques extérieures au cercle de projection. La direction de plus haute symétrie est généralement choisie comme étant la direction nord-sud. Par exemple, dans le système cristallin quadratique, la direction [001] est choisie perpendiculaire au plan de projection.

Projection des éléments de symétrie

Pour la représentation graphique des groupes ponctuels de symétrie, le point à l'intersection des éléments de symétrie est placée au centre de la sphère. Dans certains cas, il n'existe pas un tel point ou il en existe une infinité : il s'agit des groupes 1, 2, m, mm2, 4, 4mm, 3, 3m, 6 et 6mm. On choisit alors généralement l'axe de plus haute symétrie ou la droite d'intersection des éléments de symétrie comme direction nord-sud de la sphère.

Les éléments de symétrie dans les groupes ponctuels sont de trois types : plans de réflexion, axes de rotation et axes de roto-inversion. Chaque élément de symétrie passe par le centre de la sphère.

Pour les plans miroirs, l'intersection d'un plan avec une sphère étant un cercle, trois cas se présentent :

le plan miroir est parallèle au plan équatorial, sa projection stéréographique est le grand cercle extérieur représenté en bleu dans la figure du groupe 4/mmm ci-dessous ;
le plan miroir est perpendiculaire au plan équatorial, sa projection est un segment ;
le plan miroir est ni parallèle ni perpendiculaire au plan équatorial, sa projection consiste en deux arcs de cercle de même longueur et d'extrémités communes sur le grand cercle (« grand cercle intérieur »), tracés en bleu dans la représentation du groupe m3m ci-dessous.

L'intersection d'un axe de symétrie avec la sphère produit deux points diamétralement opposés, la projection stéréographique d'un axe de symétrie consiste donc en deux points. Les axes de symétrie sont représentés par des symboles définis dans les tables internationales de cristallographie^[1].

Si l'axe est perpendiculaire au plan équatorial, les deux points se confondent au centre du cercle de projection (axes 4 et 4 représentés en rouge dans les figures des groupes 4/mmm et 42m ci-dessous).
Si l'axe est parallèle au plan équatorial, les deux points sont diamétralement opposés sur le grand cercle extérieur (axes 2 du groupe 42m dans la figure ci-dessous).
Si l'axe est ni parallèle ni perpendiculaire au plan équatorial, les deux points sont à l'intérieur du cercle de projection et symétriques par rapport au centre du cercle (axes 3 du groupe m3m).

Groupe 4/mmm
Groupe 42m
Groupe m3m

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Représentation des formes cristallines

Les faces des formes cristallines sont représentées par leurs normales. On ne considère que l'intersection de la normale avec la sphère qui est la plus proche de la face considérée. Cette intersection est appelée « pôle de la face ». Si un pôle est situé sur l'hémisphère nord de la sphère, il est représenté par une croix, sinon, par un cercle. La distinction entre les hémisphères n'est pas faite pour la représentation des éléments de symétrie.

Les figures ci-dessous montrent un tétraèdre et sa projection stéréographique avec les éléments de symétrie de son groupe, 43m. Les normales de ses faces sont confondues avec les axes de rotation d'ordre 3.

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Notes et références

↑ (en) International Tables for Crystallography, vol. A : Space-group symmetry, Th. Hahn, Kluwer Academic Publishers, 2005 (réimpr. corrigée), 5^e éd. (ISBN 978-0-470-68908-0), chap. 1.4 (« Graphical symbols for symmetry elements in one, two and three dimensions »), p. 9

Voir aussi

Projection stéréographique.

Liens externes

Vidéo pédagogique extaite d'une série de 9 épisodes sur la représentation des dimensions dans l'espace
Animation de l‘American Mathematical Society montrant de manière esthétisée un portrait de Bernhard Riemann se déplaçant sur une sphère et projeté stéréographiquement en même temps sur un plan.

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