Projection conforme

Le choix d'une projection et la conversion d'une projection à une autre comptent parmi les difficultés que les cartographes ont dû affronter. L'informatique leur a beaucoup apporté de ce point de vue

La projection cartographique est un ensemble de techniques géodésiques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.

Description

D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre la surface de la Terre et le plan (ou la surface développable) une correspondance telle que :

et

où x,y désignent des coordonnées planes, la latitude, λ la longitude et f₁,f₂ des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble de départ sauf sur un petit nombre de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de solutions. Les mathématiciens ne se sont pas privés d'en trouver, et on en connaît plus de deux cents (Joly, 1985, page 39).

De la Terre à la carte

Une projection s'appuie sur une sphère ou un ellipsoïde de révolution. La Terre étant en fait un patatoïde, on commence par choisir, à partir de son géoïde global, un ellipsoïde de révolution représentatif. Il existe plusieurs ellipsoïdes en usage, dont les plus courants sont :

• Clarke 1866
• Clarke 1880 anglais
• Clarke 1880 IGN
• Bessel
• Airy
• Hayford 1909
• International 1924
• WGS 66
• International 1967
• WGS 72
• IAG-GRS80
• WGS 84
• NAD27
• NAD83

Les ellipsoïdes IAG-GRS80 et WGS84 sont pour la plupart des applications à considérer comme étant identiques. Plus rigoureusement, l'écart en termes de demi-petit axe entre les ellipsoïdes WGS84 et IAG-GRS80 est de 0,1 mm. IAG-GRS80 est l'ellipsoïde mis en place en 1980 par l'International Association of Geodesy comme Geodetic Reference System.

WGS84 signifie World Geodetic System, créé en 1984.

L'ellipsoïde seul ne suffit pas : il est nécessaire de le positionner par rapport à la surface réelle de la Terre. La donnée de l'ellipsoïde et des paramètres de positionnement constitue ce qu'on appelle un datum géodésique à partir duquel pourra être appliquée une projection.

Un datum géodésique est donc défini par :

• la donnée de l'ellipsoïde ;
• la position du centre de l'ellipsoïde par rapport au centre de masse de la Terre (de quelques centimètres à plus d'une centaine de mètres) ;
• l'orientation des axes de l'ellipsoïde ;

ou, plus concrètement pour un datum local :

• l'ellipsoïde ;
• le point fondamental, où l'ellipsoïde tangente le géoïde,
• l'azimut initial (direction du nord en ce point),
• le méridien origine (du point de référence),

à quoi il convient d'ajouter la projection courante.

Il existe de nombreux datums, chacun adapté à un usage particulier, depuis des représentations globales du globe (ce sont les plus précises, comme DORIS qui permet de mesurer la dérive des continents ou le rebond post-glaciaire) jusqu'à des bases cadastrales (moins précises mais s'ajustant au plus près du géoïde). Voici quelques datums géodésiques en usage :

• Nouvelle Triangulation de la France (NTF) : France (jusqu'en décembre 2000 ; la plupart des cartes de l'IGN sont toujours dans ce système), basé sur l'ellipsoïde Clarke 1880 IGN. Le point fondamental est au Panthéon à Paris. La projection courante est Lambert.
• Réseau géodésique français (RGF) 1993 : France, basé sur l'ellipsoïde IAG-GRS80, la projection associée est la projection Lambert93 (projection conique conforme). En novembre 2006, une série de 9 projections conique conforme a été aussi proposée comme projections associées au RGF93. La nomenclature de ces projections est : CC42, CC43, CC44, CC45, CC46, CC47, CC48, CC49 et CC50. Chaque zone est centrée sur un parallèle de latitude ronde, allant du 42^e au 50^e degré de latitude nord avec une emprise de un degré de latitude de part et d'autre de ce parallèle.
• European Datum (ED) 50 : système européen unifié, basé sur l'ellipsoïde Hayford 1909. Le point fondamental est à Potsdam, en Allemagne. La projection courante est UTM.
• World Geodetic System (WGS84) : système mondial (pas de point fondamental), mis au point par le Département de la Défense des États Unis et utilisé par le GPS, basé sur l'ellipsoïde WGS84. La projection courante est UTM.

Les types de projections

Une fois un datum fixé, on peut choisir le type projection à appliquer pour obtenir une carte. Cette fois encore, ce choix est conduit par l'usage, car les projections peuvent avoir diverses propriétés :

• projection équivalente : conserve localement les surfaces ;
• projection conforme : conserve localement les angles, donc les formes ;
• projection aphylactique : elle n'est ni conforme ni équivalente, mais peut être équidistante, c'est-à-dire conserver les distances sur les méridiens.

Une projection ne peut être à la fois conforme et équivalente.

Une carte ne pouvant pas être obtenue simplement en écrasant une sphère, la projection passe généralement par la représentation de la totalité ou une partie de l'ellipsoïde sur une surface développable, c'est-à-dire une surface qui peut être étalée sans déformation sur un plan.

Les trois formes mathématiques courantes qui répondent à ce critère (à savoir le plan, le cylindre et le cône) donnent lieu aux trois types principaux de projections :

• la projection cylindrique ;
• la projection conique ;
• la projection azimutale.

Une projection qui ne peut être classée dans un de ces types est appelée individuelle ou unique.

Projection cylindrique

On projette l'ellipsoïde sur un cylindre qui l'englobe. Celui-ci peut être tangent au grand cercle, ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cylindre pour obtenir la carte.

Exemples de projection cylindrique :

• Projection de Mercator (conforme)
• Projection de Peters (équivalente)
• Projection de Robinson (pseudo-cylindrique, aphylactique)
• Projection UTM aussi appelée Gauss-Kruger (conforme)
• Projection cylindrique équidistante
• Projection de Mercator oblique (utilisée en Suisse par exemple).

Projection conique

On projette l'ellipsoïde sur un cône tangent à un cercle ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cône pour obtenir la carte.

Exemples de projection conique :

• Projection conique conforme de Lambert
• Projection d'Albers

Projection azimutale

On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle.

Il existe trois types de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de perspective utilisé pour la projection :

• projection stéréographique ;
• projection gnomonique ;
• projection orthographique.

Par ailleurs, selon la position du plan tangent, la projection azimutale est dite polaire (plan tangent à un pôle), équatoriale (plan tangent en un point de l'équateur), ou oblique (plan tangent en un autre point). La projection azimutale polaire sert pour les cartes représentant les lignes aériennes qui passent par les régions polaires afin de réduire la distance de parcours.

Projection stéréographique

Le point de perspective est placé sur le sphéroïde ou l'ellipsoïde à l'opposé du plan de projection. Le plan de projection, qui sépare les deux hémisphères nord et sud de la sphère, est appelé plan équatorial.

Projection gnomonique

Différentes projections gnomoniques

Le point de perspective est au centre du sphéroïde. La projection gnomonique conserve les orthodromies ^[1].

• Projection de Fuller : projection gnomonique sur un polyèdre : cuboctaèdre (14 faces, 8 triangles équilatéraux et 6 carrés) ou plus souvent icosaèdre (20 triangles équilatéraux).

Projection orthographique

Le point de perspective est à une distance infinie. On perçoit un hémisphère du globe comme si on était situé dans l'espace. Les surfaces et formes sont déformées, mais les distances sont préservées sur des lignes parallèles.

Projection azimutale équivalente de Lambert

Projections uniques

Il existe de nombreuses cartes qui ne résultent pas d'une projection sur un cône, un cylindre ou un plan:

• Projection sinusoïdale
• Projection de Sanson-Flamsteed : une projection sinusoïdale découpée et rédressée
• Projection Goode : projection interrompue

Notes et références

Quelques références sur les projections cartographiques

• Cuenin, R., 1972, Cartographie générale, 2 tomes, Eyrolles, Paris.
• Driencourt L. et Laborde J., 1932, Traité des projections géographiques ; 4 fascicules, éd. Hermann, Paris.
• Dufour, J.-P., 2001, Introduction à la géodésie, Hermès, 334p.
• Gambier, G., 1984, Notions sur les représentations planes de la Terre, 114 p.
• (en) Hooijberg, M., 1997, Practical geodesy using computers, Springer Verlag, 308p.
• (en) Iliffe, J. C., 2002, Datum and map projections for remote sensing, GIS and surveying, Whittles Publishing, UK, 150 pp.
• Joly, F., 1985, La cartographie, collection Que sais-je ?, PUF, No 937, 127p.
• Levallois, J.-J., 1970, Géodésie générale - Tome 2 : Géodésie classique bidimensionnelle, éd. Eyrolles, 408p.
• Le Fur, A., 2004, Pratiques de la cartographie, éd. Armand Colin, 96p.
• Radix, J.-C., 1991, Répertoire géodésique en vue de la navigation, Cépaduès-Editions, Toulouse, 756p.
• Reignier, F., 1957, Les systèmes de projection et leurs applications, édition IGN, Saint-Mandé.
• (en) Snyder, J. P., 1987, Map projections - a working manual, USGS Paper 1935, Washington. 383p.
• (en) Snyder, J. P., 1997, Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections., University of Chicago Press, 384p. (ISBN 978-0-2267-6747-5)
• (en) Yang, Q., J. P. Snyder et W. R. Tolber, 2000, Map projection transformation, principles and applications, Taylor et Francis Editor, 367p.

Cours disponibles sur la toile

• Dana, P., 1999, Cours en anglais avec de nombreuses figures: sur les projections cartographiques
• Fiche sur les notions de géodésie publiée par l'IGN sur les projections
• Sillard, P., 2000, Les projections et référentiels cartographiques, 61 pp.
• Weger, G., 1999, Sémiologie graphique et conception cartographique, volume 1, 141 pp
• Serveur éducatif dédié à l'information géographique

Liens internes

• Géodésie
• Carte inversée
• Géométrie projective
• Monde (univers)
• Système de coordonnées (Cartographie)

Liens externes

• (en) mathworld : explications et formules pour de nombreuses projections
• (en) page de l'USGS qui référence un grand nombre de projections
• (en) The Casual Cartographer : une série d'articles sur les projections et des programmes de conversion

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