Pentadecagone

Pentadecagone

Pentadécagone

Pentadécagone ou pentédécagone : polygone régulier de 15 côtés.

Sommaire

Construction à la règle et au compas

Poly 15 cote.gif

Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :

3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par \frac{2\pi}{15} la relation de Bezout 2 × 3 - 5 = 1, on obtient l'égalité : 2\frac{2\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}

Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OG}) = \frac{4\pi}{5} , le point B tel que (\overrightarrow{OG}, \overrightarrow{OB}) = -\frac{2\pi}{3} est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).

A partir du point G on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).

En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP. Une telle construction a été proposée par Euclide.

Pentadécagones croisés

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3..., (n-1)/2. Il y a trois pentadécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept.

Construction avec une médiatrice

Pentadecagone.gif

Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.

Placer le point G' symétrique de G par rapport à O.

La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone.

Justification

Pentadecagone s.gif

Le triangle OBG' est équilatéral car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].

L'angle \widehat{MOA} de deux rayons du pentagone est de \frac{2\pi}{5}.

\widehat{G'OA} = \frac 1 2 \widehat{MOA} = \frac{\pi}{5}.

\widehat{AOB} = \widehat{G'OB} - \widehat{G'OA} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15}, angle deux rayons du pentadécagone.

Construction au compas

Pentadecagone 2.gif

Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.

Placer les points A', D', G', J', M' symétrique de A, D, G, J, M par rapport à O.

Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A', D', G', J', M' passant par le centre O.

Justification

G'OB est un triangle équilatéral de côté égaux au rayon r du cercle circonscrit, \widehat{G'OB} = \frac{2\pi}3.

Comme ci-dessus on a: \widehat{G'OA} = \frac 1 2 \widehat{MOA} = \frac{\pi}{5} (angle au centre du pentagone).

\widehat{AOB} = \widehat{G'OB} - \widehat{G'OA} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{15} est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet.

Voir aussi


Polygones
Henagone (1) • Digone (2) • Triangle (3) • Quadrilatère (4) • Pentagone (5) • Hexagone (6) • Heptagone (7) • Octogone (8) • Ennéagone (9) • Décagone (10) • Hendécagone (11) • Dodécagone (12) • Tridécagone (13) • Tétradécagone (14) • Pentadécagone (15) • Hexadécagone (16) • Heptadécagone (17) • Octadécagone (18) • Ennéadécagone (19) • Icosagone (20) • Triacontagone (30) • Tétracontagone (40) • Pentacontagone (50) • Hexacontagone (60) • Heptacontagone (70) • Octacontagone (80) • Ennéacontagone (90) • Hectogone (100) • Dihectogone (200) • Trihectogone (300) • Tétrahectogone (400) • Pentahectogone (500) • Hexahectogone (600) • Heptahectogone (700) • Octahectogone (800) • Ennéahectogone (900) • Chiliogone (1000) • Myriagone (10000)
  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Pentad%C3%A9cagone ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Pentadecagone de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Pentadécagone — ou pentédécagone : polygone régulier de 15 côtés. Sommaire 1 Construction à la règle et au compas 1.1 Pentadécagones croisés 2 Construction avec une médiatrice …   Wikipédia en Français

  • pentadécagone — ● pentédécagone ou pentadécagone nom masculin Polygone qui a quinze angles, et donc quinze côtés. pentadécagone [pɛ̃tadekagɔn] n. m. et adj. ÉTYM. 1765; de penta « cinq », déca « dix », et gone. ❖ …   Encyclopédie Universelle

  • pentadecagon — PENTADECAGÓN, pentadecagoane, s.n. (geom.) Poligon plan cu cincisprezece laturi şi cincisprezece unghiuri. – Din fr. pentadécagone. Trimis de cata, 21.03.2004. Sursa: DEX 98  PENTADECAGÓN s.n. Poligon plan cu cincisprezece laturi. [< fr.… …   Dicționar Român

  • Calcul de l'aire d'un polygone — Polygone Pour les articles homonymes, voir Polygone (homonymie). En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d une suite de segments, chacun d entre eux partageant une… …   Wikipédia en Français

  • Hectagone — Polygone Pour les articles homonymes, voir Polygone (homonymie). En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d une suite de segments, chacun d entre eux partageant une… …   Wikipédia en Français

  • Ludolph van Ceulen — Ludolf van Ceulen. Ludolph van Ceulen, ou Coelen, né à Hildesheim, le 28 janvier 1540, mort à Leyde le 31 décembre 1610, est un mathématicien allemand qui émigra aux Pays Bas. Il fut le premier …   Wikipédia en Français

  • Polygonale — Polygone Pour les articles homonymes, voir Polygone (homonymie). En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d une suite de segments, chacun d entre eux partageant une… …   Wikipédia en Français

  • Polygone —  Ne doit pas être confondu avec Polynôme. Pour les articles homonymes, voir Polygone (homonymie). En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d une suite cyc …   Wikipédia en Français

  • Polygone regulier — Polygone régulier Pour les articles homonymes, voir régulier. Pentagone régulier En géométrie, il existe deux définitions équivalentes de …   Wikipédia en Français

  • Polygone régulier — Pour les articles homonymes, voir régulier. Pentagone convexe régulier En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) dont …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”