Notion de module

Notion de module
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Un module est une unité de mesure conventionnelle adoptée pour régler les diverses parties d'un ensemble (construction, machine...). Il correspond à la plus petite commune mesure que doivent posséder les dimensions des éléments entrant dans la composition de cet ensemble pour quils puissent se superposer, se combiner ou se juxtaposer sans retouches. En grec, le module est désigné par τόυος, le ton ; lorigine latine[1] modulus, de modus indique la cadence, la mesure. Le terme peut également être employé dans le sens d'étalon, de gabarit ou encore de calibre. Enfin, par extension il désigne aussi un élément, une unité constitutive d'un ensemble.

Sil est difficile de connaître précisément lorigine de cette notion qui nest pas simple à concevoir, sa constance à travers les époques, sous des formes variables, et surtout l'utilisation remarquable qui en a été faite, invitent à létudier.

Plan d'architecture anthropomorphique par Francesco di Giorgio Martini.

Sommaire

Principe

Soit M le module, unité de mesure conventionnelle. À partir de M, on détermine différentes dimensions Di dun ensemble. Pour Vitruve, le rythme modulaire comprend[2]

  • les symetriae : \mathrm{D}_i = n_i \cdot \mathrm{M}  ;
    par exemple, dans lordre dorique, lentablement vaut 3,5 modules, celui-ci correspondant au demi-diamètre des colonnes qui se mesure à la naissance du fût ;
  • les proportiones : Di / Dj = M ;
    par exemple dans lordre dorique, « lentablement est à la colonne comme 1 à 4 ».
Les engrenages nécessitent un module pour leur dimensionnement

Lorsque M = φ (Nombre d'Or), les deux grandeurs Di et Dj sont dites dans la divine proportion.

Par suite il ny a rien détonnant à ce quon appelle « module », le rapport de deux grandeurs, comme pour caractériser des propriétés physiques ou mécaniques :

  1. Quotient du diamètre primitif par le nombre de dents = module dun engrenage ; tous les éléments d'un mécanisme dentépignons, crémaillères, vis sans finont le même module, ce qui assure qu'ils s'engrènent correctement.
  2. Rapport entre la pression qui sexerce sur un corps et la diminution du volume unitaire qui en résulte = module de compressibilité.
  3. Débit moyen annuel (litre/seconde) par km2 = module spécifique ou relatif dun bassin hydrographique.
  4. Contrainte mécanique σ qui engendrerait un allongement ε de 100 % de la longueur initiale d'un matériau = module de Young noté E et tel que σ = E⋅ε et (loi de Hooke) qui caractérise la rigidité dun matériau.
  5. Diamètre comparatif = module des médailles ou monnaies

Il n'y a rien d'étonnant non plus de retrouver ce terme pour désigner un élément constitutif d'un ensemble : module lunaire, module de commande, module d'une formation ou encore module d'extension d'un logiciel etc.

Le Doryphore de Polyclète

Statue du Diadumène

En sculpture, le canon est un ensemble de règles servant à déterminer les proportions idéales du corps humain .

La théorie du canon de Polyclète est lune des bases du classicisme grec : il lappliqua à ses statues viriles comme le Diadumène et le Doryphore avec laquelle Polyclète avait entrepris de démontrer, par une « statue dont toutes les parties seraient entre elles dans une proportion parfaite », quels sont les rapports de grandeur dans lesquels la nature a placé la perfection des formes humaines. Il atteignit si bien son but que la statue qu'il donna comme exemple et comme modèle fut considérée comme un chef d'œuvre incontestable. Dans cette œuvre, la tête entre au total sept fois dans le corps, deux fois entre les genoux et les pieds, deux fois dans la largeur des épaules et deux fois dans la hauteur du torse.

Les mécaniciens grecs : de l'établissement des proportions au module

Principe de filiation entre les œuvres des ingénieurs de l'Antiquité

La genèse dun corpus technique

Si on se perd en conjectures sur lorigine de la technique, lorigine de la technologie semble correspondre à lavènement du traité qui suppose un début de rationalisation pour transmettre un savoir-faire. À partir du VIe siècle avJ.‑C. sétablit une filiation, une tradition qui permet de transmettre lacquis technique dune génération à lautre. Dans ce schéma, les savoir-faire individuels sont progressivement intégrés dans un corpus qui devient accessible à tous.

La formation de lesprit technique

Dans La formation de lesprit scientifique, Gaston Bachelard distingue trois étapes décisives qui peuvent sappliquer peu ou prou aux techniques grecques[3] :

  1. Létape primitive dans laquelle les observations ne peuvent conduire à rien car elles butent sur des difficultés insurmontables
  2. Létape intermédiaire dans laquelle on a su distinguer des éléments fondamentaux. Cest précisément létape qui permet de dégager soit un module pour la construction, soit une formule applicable.
  3. Létape décisive dans laquelle le fait technique est relié à un système scientifique abstrait. La science grecque sera essentiellement axiomatique et ne permettra pas daccéder au rêve des mécaniciens de lui donner une véritable formulation mathématique.

Les tours de Diadès

Diadès fut élève de Polyeidos et ingénieur dAlexandre le Grand. Il composa un traité de machines de guerre aujourdhui perdu et se donna comme linventeur de tours transportables ainsi que de divers engins tels le trépan, le corbeau, le pont volant[4]. Les tours étaient de hauteur variable et constituées de plusieurs étages bordés dun chemin de ronde, et dont la hauteur allait en diminuant. La tradition affirme quon prenait soin de conserver toujours les mêmes « proportions de dimension, de matériaux » dans les tours de différentes hauteurs. Après « expérience » et réflexions, on était donc arrivé à des notations chiffrées, applicables à tous les cas. Pour chaque machine on possédait des « tables de proportions » quil fallait suivre rigoureusement : cest la première utilisation connue du principe du module.

Philon dAthènes et les proportions des temples

Philon d'Athènes vivait à la fin du IVe siècle. Daprès Vitruve, il aurait travaillé au temple de Cérès et de Proserpine, à Eleusis[5]. Il aurait écrit un traité de poliorcétique et un traité sur les proportions des temples aujourdhui perdu et dont on retrouve la mention dans lœuvre de Vitruve.

La vis dArchimède

Vis d'Archimède utilisée pour pomper de l'eau

et mort à Syracuse, Archimède nappartient pas au sens strict à lécole d'Alexandrie dont il est pourtant proche tant par les problèmes étudiés que par les méthodes employées. À lépoque de lauteur, la vis d'Archimède existait probablement depuis longtemps et lattribution à Archimède est due à un commentaire erroné de Commandin au XVIe siècle.

Ce mécanisme nous fournit un autre exemple de lutilisation du module par les mécaniciens grecs : dans la construction de la vis, on doit respecter des proportions qui sont énoncées sur la base dun module qui, ici, est la longueur de la vis[6]. Le diamètre de la vis représente 1/16e de module, le pas de l'hélice 1/8e, le diamètre du cylindre enveloppe est égal au pas de lhélice. Linclinaison de lensemble doit être de 3 hauteurs pour 4 de base ce qui représente le triangle pythagoricien[7]

Philon de Byzance et les machines de jet

Épure balistique du palintone montrant l'utilisation du module pour concevoir la machine

Philon de Byzance, qui vécut à Alexandrie et à Rhodes, est le premier mécanicien dont lœuvre nous soit en grande partie parvenue. Son traité des machines de jet montre clairement lévolution vers lartillerie névrobalistique. Il nous apprend que les premiers ingénieurs qui soccupèrent de perfectionner ces machines nagirent que par empirisme car « les anciens avaient seulement conçu la forme et la disposition générale de ces machines, ils nobtenaient pas de portées remarquables parce que les proportions quils utilisaient nétaient pas bien adaptées. Leurs successeurs, enlevant de-ci, ajoutant de-, ont rendu ces instruments harmonieux et efficaces »

Ces premiers techniciens navaient pas ce que Philon de Byzance appelait « lélément premier » et qui permettait de déterminer les dimensions de chacune des pièces de la machine, lui assurant ainsi les proportions les meilleures. Ainsi apparaissent des éléments fondamentaux mesurables, comptabilisables et qui représentent la base dune conceptualisation. On assiste alors au passage de la machine exceptionnelle à la machine rationnelle, standardisée, indéfiniment reproductible et finalement banale.

La catapulte est une machine de jet de type euthytone

Pour ce faire, Philon de Byzance établit une relation élémentaire entre lénergie disponible, c'est-à-dire produite par les faisceaux de fibres élastiques, et le poids du boulet. Pour déterminer lénergie, il se base sur le diamètre du trou par lequel passent les faisceaux de fibres élastiques. La racine cubique du poids en drachmes du projectile, augmentée dun dixième, représente le diamètre du trou du bâti exprimé en doigts (unité de mesure). Une traduction algébrique (les Grecs ne maîtrisaient pas l'algèbre) donnerait d = 1,1\sqrt[3]p avec d le diamètre du trou du bâti et p \, le poids du projectile. Une table permettait lutilisation du module, que Philon de Byzance appel le ton : chaque pièce représentait alors un multiple ou une fraction du module[8]. Ainsi leuthytone (catapulte) se trouvait tracée dans un carré dont les côtés avaient 16 modules et la palintone (baliste), dans un triangle isocèle de 19 modules de base et de hauteur. Si nous ne disposons pas des tables associées à ces machines, Philon nous livre quelques exemples :

  • Pour un poids de dix mines (soit 1000 drachmes), le diamètre des lucarnes devait être de onze doigts
  • Pour un poids dun talent, il devait être de 21 doigts.

Il en était de même pour les pièces de la machine, le péritrète, le barillet, lépaisseur du moyeu, lhypothème (support), les bras, la longueur de la corde archère, qui était double de celle des bras. Le module devient ici unité de mesure et Philon de Byzance précise que « nul na osé sécarter du formulaire ». Ces machines deviennent faciles à démonter, à stocker, voir à réparer car leur mode de conception permet lapparition des pièces détachées.

Héron dAlexandrie ou la tradition en marche

Chirobaliste. Machine palintone portative

Le traité des machines de guerre dHéron d'Alexandrie distingue deux types de machines de jet :

  • Les machines euthytones qui ne lançaient que des traits (scorpions)
  • Les machines palintones (balistes) qui lançaient des traits ou des boulets de pierre (lithoboles)

Héron dAlexandrie reprend exactement la formule de Philon de Byzance pour le calcul du module à partir duquel toute la machine doit être construite. Il y ajoute la formule pour les machines qui lancent des traits : dans ce cas, le diamètre du trou doit être égal au neuvième de la longueur du trait. Ainsi pour un trait de 3 coudées, le module sera de 8 doigts.

Comme chez Philon de Byzance, on retrouvera dans son traité une solution graphique du célèbre problème de la duplication du cube servant ici pour calculer léchelle de proportion de deux machines dont les boulets ont leur poids dans un rapport donné. Ainsi, pour une machine qui lancerait des boulets deux fois plus lourds, soit p' = 2p \,, on obtient aisément d' = d\sqrt[3]2 \,, ce qui correspond précisément au problème de la duplication du cube, problème qui consiste à multiplier une dimension par \sqrt[3]2

Désormais tout est défini, tout est coté, tout est mis en tables que personne ne peut ni ne veut modifier : cette technique est maintenant saturée.

Vitruve le compilateur

L'homme de Vitruve de Léonard de Vinci. L'échelle de mesure au-dessous du dessin comporte plusieurs repères linéaires servant de module

Le module a été clairement décrit par Vitruve et c'est dans ses écrits qu'apparaît pour la première fois le terme. Pourtant Vitruve ne semble être que le dépositaire dune tradition déjà ancienne.

Lhomme inscrit dans un cercle et dans un carré, réalisé sur le même dessin par Léonard de Vinci, illustre un passage du livre « De Architectura » de Vitruve (Marcus Vitruvius Pollo, Ier siècle avJ.‑C., actif sous Jules César et Auguste) que la Renaissance a réédité et adulé.

Les proportions de l'homme ne concernent qu'un passage relativement court (781 mots latins) dans le chapitre 1 du livre III. Un extrait du paragraphe 2 indique clairement la mise en œuvre par l'artiste d'un « rythme modulaire » :

§. 2 « La nature a en effet ordonné le corps humain selon les normes suivantes : le visage, depuis le menton jusqu'au sommet du front et à la racine des cheveux vaut le dixième de sa hauteur, de même que la main ouverte, depuis l'articulation du poignet jusqu'à l'extrémité du majeur : la tête, depuis le menton jusqu'au sommet du crâne, vaut un huitième ; du sommet de la poitrine mesuré à la base du cou jusqu'à la racine des cheveux on compte un sixième ; du milieu de la poitrine au sommet du crâne, un quart. Quant au visage, le tiers de sa hauteur se mesure de la base du menton à la base du nez ; le nez, de la base des narines jusqu'au milieu de la ligne des sourcils, en vaut autant ; de cette limite jusqu'à la racine des cheveux on définit le front qui constitue ainsi le troisième tiers. Le pied correspond à un sixième de la hauteur du corps, l'avant-bras à un quart, ainsi que la poitrine. Les autres membres ont également des proportions spécifiques, qui les rendent commensurables entre eux.... » « La proportion est le rapport que tout l'œuvre a avec ses parties, et qu'elles ont séparément, comparativement au tout, suivant la mesure d'une certaine partie. Car, de même que dans le corps humain, il y a un rapport entre le coude, le pied, la paume de la main, le doigt et les autres parties, ainsi dans les ouvrages qui ont atteint leur perfection, un membre en particulier fait juger de la grandeur de tout l'œuvre » Chapitre II En quoi consiste larchitecture

« L'ordonnance d'un édifice consiste dans la proportion qui doit être soigneusement observée par les architectes. Or, la proportion dépend du rapport que les Grecs appellent analogie ; et, par rapport, il faut entendre la subordination des mesures au module, dans tout l'ensemble de l'ouvrage, ce par quoi toutes les proportions sont réglées ; car jamais un bâtiment ne pourra être bien ordonné s'il n'a cette proportion et ce rapport, et si toutes les parties ne sont, les unes par rapport aux autres, comme le sont celles du corps d'un homme bien formé »

Figure proportionnelle Vitruvienne par Francesco di Giorgio Martini

Si donc la nature a tellement composé le corps de l'homme, que chaque membre a une proportion avec le tout, ce n'est pas sans raison que les anciens ont voulu que dans leurs ouvrages ce même rapport des parties avec le tout fût exactement observé.

Mais parmi tous les ouvrages dont ils ont réglé les mesures, ils se sont principalement attachés à déterminer les proportions des temples des dieux, dans lesquels ce qu'il y a de bien ou de mal fait est exposé au jugement de la postérité.

La division et même la nomenclature de toutes les mesures pour les différents ouvrages ont été prises sur les parties du corps humain ; c'est ainsi que l'on a eu le doigt, la palme, le pied, la coudée, etc., et ces divisions ont été réduites à un nombre parfait, que les Grecs appellent telion. » Chapitre premier du livre III

Ainsi dans larchitecture antique et classique, le module est la commune mesure conventionnelle dune ordonnance correspondant en général au demi-diamètre du fût de la colonne dans sa partie basse.

Parmi les éléments originaux notés dans l'œuvre de Vitruve, on remarque une extension remarquable de la pratique du module[9]. Pour les machines de jet, la formule des mécaniciens d'Alexandrie est adaptée aux unités de mesure romaines. Les temples sont construits à partir de modules avec la définition des ordres architecturaux (ionique, dorique). Il n'est pas jusqu'au navire il n'est question de module et qui consiste ici en l'intervalle des chevilles sur lesquelles les rames prennent leur appui.

Illustration des ordres architecturaux dans l'encyclopédie de Diderot et d'Alembert. Noter la référence au module comme échelle de mesure :

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La table de Frontin

Caisse de mesure, système Michelot (XIXe siècle). Musée de l'eau de l'EPAL, Lisbonne

Frontin appartenait à la classe sénatoriale romaine et comme tel faisait partie des personnages appelés par leur carrière à des postes militaires ou à ladministration civile[10]. En 97, on lui confie ladministration du service des eaux de Rome et il rédigera un traité des aqueducs de Rome. Tout ce qui intéressait la jauge et le calibrage des conduites concernait au premier chef ladministration : « tout calibre est déterminé par son diamètre, ou par son périmètre ou par la mesure de sa section ». La table de Frontin est construite à partir de la quineria, tuyau de 5, jusquau tuyau de 125 qui permettait une classification des calibres : on parle alors de module quinaire.

Par la suite, Frontin constatera que le modèle nest pas nécessairement homothétique, c'est-à-dire la réduction à la même échelle de tous les éléments de lensemble. Ainsi pour le module des tuyaux dadduction deau, léchelle des modules quant au diamètre des tuyaux fonctionne par progression arithmétique du 5 au 20. Au-dessus, il procède comme la série des racines carrées des termes dune progression arithmétique. Des siècles plus tard, James Watt lobservera encore dans le modèle réduit de la machine de Thomas Newcomen.

Module et calligraphie arabe : de la formule datelier aux jeux de lesprit

Exemple de naskhî dans un manuscrit médical (livre des dioscorides) du XIVe siècle
Dans une feuille de format A, le rapport longueur/largeur est dans une proportion de √2

Les véritables successeurs des mécaniciens grecs furent certainement les arabes qui firent traduire les traités grecs avant de s'en servir comme base pour leurs propres travaux. Par ailleurs, il semble naturel que toute civilisation[11] développe un « système esthétique » fondé sur lamour de lharmonie et qui peut revêtir une grande diversité de formes. Lun des grands principes de lesthétique, déjà énoncé par Platon, est celui de « lharmonie des parties et du tout par laquelle lunité de ce dernier simpose à la multiplicité des parties ». Contrairement aux arts du monde occidental, héritiers de Platon et dAristote, lart du monde musulman ne montre guère dintérêt pour létude des proportions du corps humain. Si, dans le Coran, « Dieu a créé lhomme harmonieusement » (XXXII, 9), la préoccupation des artistes musulmans ne sera précisément pas de rivaliser avec cette divine justesse. En revanche, un champ de lart tout à fait spécifique au monde musulman est fourni par la calligraphie arabe[12]. Celle-ci est dabord développée pour la copie du Coran et les usages de la chancellerie califale et sera codifiée en une « écriture proportionnée » (al-khatt al-mansûb) attribuée au vizir Ibn Muqla (885/886-940). Dans son « traité sur lécriture et le calame » (Risâlat al-khatt wa-l-qalam), lauteur donne les bases dun système de proportions fondé sur la lettre alif, en forme de hampe verticale et qui est inscrite dans un cercle servant d' étalon (module). Chaque lettre est ensuite formée à partir de ce cercle ce qui donnera les six styles de la calligraphie arabe classique (naskhî, muhaqqaq, thuluth, riqa’, rayhânî et tawqî), chacun se caractérisant par la proportion des lettres par rapport au alif.

Cette conception très intellectualisée de la calligraphie sera reprise ensuite par toutes les grandes écoles de calligraphie. Dès le début du XIVe siècle, chez les Mamelouks dÉgypte ou chez les Mongols dIran, on observe dans la production de manuscrits de prestige un développement du souci de mise en page. Ainsi le format des feuillets de papier présente souvent des proportions remarquables : les plus fréquentes sont A (1 x 1,414)[13], le double rectangle de Pythagore (1 x 1,5) et plus rarement, le rectangle dor (1 x 1,618).

De plus, le champ de la page est divisé entre le rectangle calligraphique, ou espace écrit, et la marge, tous deux répondant à des rapports précis. La surface écrite est divisée par la réglure, la largeur de la page divisée par un nombre entier donne alors le nombre de lignes. Plus tard avec Villard de Honnecourt, ou comme l'a montré Rosa Viro avec la bible de Gutenberg [14], les typographes suivront des tracés régulateurs ou des modes de calcul pour déterminer l'empagement d'un ouvrage, afin dassurer une répartition cohérente des blancs et de la surface imprimée[15]

Module, figures de référence et tracé régulateur

Schéma de croissance harmonique par racine carrée de 2 du plan de la villa Rotonda par Andrea Palladio[16]

De nombreuses constructions à la règle et au compas conduisent à la mise en œuvre de figures géométriques types, telles que le pentagone, figures elles-mêmes associées à des modules particuliers (nombre d'or dans le cas de pentagone).

En architecture il est possible de construire des volumes selon toutes sortes de proportions. L'architecture classique donnait trois « moyennes proportionnelles » pour trouver la hauteur d'une pièce à partir de sa base :

  • la moyenne arithmétique : h=\frac{l+L}2
  • la moyenne géométrique : h=\sqrt[]{l*L}
  • la moyenne harmonique : h=\frac{2lL}{l+L}

Dans les théories de la Renaissance, la base a des proportions comprises entre 1 et 2 en passant par 7 positions intermédiaires : 1/1, 4/5, 3/4, 1/√2, 3/2, 1/Φ, 3/5, 4/7 et 1/2. Ces proportions découlent directement de Pythagore et de Platon.

Pourtant ces calculs ne sont souvent que théoriques. Ainsi Andrea Palladio a publié la description des bâtiments qu'il a construits dans son traité d'architecture I quattro libri dell'architettura (Les Quatre Livres de l'architecture). Dans ce traité, il explique qu'il a utilisé ces méthodes pour dimensionner les pièces et il cote ses dessins.

« Les proportions des voix sont harmonie pour les oreilles, celles des mesures sont harmonie pour les yeux. De telles harmonies plaisent souvent beaucoup sans que quiconque sache pourquoi, à l'exception des chercheurs de la causalité des choses[17]. »

Cependant une mesure précise des bâtiments montre qu'il peut y avoir des écarts assez importants entre la théorie et la réalité[18] . Le plan de la villa Rotonda est construit selon le système de la moyenne géométrique.

Plus près de nous, un architecte Le Corbusier, qui a travaillé sur la notion de « tracé régulateur », s'est inventé un système de mesures basé sur la suite de Fibonacci : le Modulor. Si on prend un exemple, les maisons Jaoul, dont les façades sont composées selon le Modulor, on se rend compte qu'en réalité les mesures toutes théoriques sont difficiles à retrouver dans le bâtiment.

Le module vu par les encyclopédistes des Lumières

L'encyclopédie de Diderot et d'Alembert consacre un article au module. Les trois acceptions principales sont celles relatives aux médailles et monnaies, à l'architecture et aux mathématiques avec le module d'un logarithme :

MODULE, s. m. (Alg. & Géom.) Quelques auteurs appellent ainsi la ligne quon prend pour sous-tangente de la logarithmique dans le calcul des logarithmes. Voyez . Ainsi, dans les logarithmes de Neper, le modale est 0, 434294 ; &, dans les logarithmes de Briggs, cest lunité. Quand on dit quune ligne est le logarithme du rapport de a à b, c étant pris pour module, cela veut dire que cette ligne est labscisse dune logarithmique dont la sous-tangense est c, cette abscisse étant comprise entre deux ordonnées égales à a & à b. M. Côtes, dans son Harmonia mensurarum (commentée & développée par dom Walmesley dans son Anasyse des rapports), emploie fréquemment cette expression de module qui dailleurs nest pas fort usitée. (O)

(sc), (Art numism.) terme emprunté de lArchitecture par les Médaillistes, pour fixer par des grandeurs déterminées leurs médailles, & en composer les différentes suites dans les médailliers ; ainsi ils ont réduit toutes les grandeurs des médailles de bronze à trois modules, quils nomment des pieces de grand, de moyen, & de petie bronze, & on écrit par abréviation G. B. M. B. P. B. (D. J.)

(sc), (Architedure.) mesure prise à volonté pour régler les proportions des colonnes, & la symmétrie ou la distribution de lédifice.

Les Architectes prennent dordinaire pour module le diametre, mais le plus souvent le demi-diametre du bas de la colonne, & ils le subdivisent en parties ou minutes. Voyez .

Vignole partage son module, qui est le demi diametre de la colonne, en douze parties égalés pour les ordres toscan & dorique, & en dix-huit pour les autres ordres. Palladio ; Scamozi, Desgodetz & le Clerc, divisent leur demi-diametre en trente parties ou minutes dans tous les ordres. Quelques uns partagent toute la colonne en seize parties pour la dorique, en dix-huit pour lionìque, en vingt pour la corinthienne ; & dune de ces parties ils font un module pour régler le reste de lédifice.

Il y a deux manieres de déterminer les mesures & les proportions des bâtimens. La premiere, par une mesure fixe ou une espece de talon qui est ordinairement le diametre de la partie insérieure de la colonne, lequel sappelle module, & est divisé en soixante parties nommées minutes. Il est une autre maniere de déterminer les mesures & les proportions dés ordres, dans laquelle il nentre ni minuteni division certaine, mais on divise leur hauteur suivant loccasion en autant de parties quon juge à propos ; cest ainsi que la base attique se divise ou en trois pour avoir la hauteur du plinte, ou en quatre pour avoir celle du plus grand tor, ou en six pour en constater celle du plus petit, &c.

Exemple d'échelle logarithmique à trois modules.

Module et machine à vapeur, dans lattente dune théorie générale

Dans le moteur de Woolf, la vapeur agit d'abord à haute pression dans le petit cylindre (B) puis elle agit par expansion jusqu'à une basse pression dans le grand cylindre (A)

Les premières machines à vapeur dapplication pratique étaient apparues au début du XVIIIe siècle et fonctionnaient à pression atmosphérique. Afin de supprimer le gaspillage de chaleur lié au réchauffement et au refroidissement alternatif dun unique cylindre (machine de Newcomen), James Watt condensa la vapeur dans un cylindre froid séparé appelé condenseur. Arthur Woolf introduisit dès le début du XIXe siècle le moteur compound à haute pression fonctionnant par expansion, dans lequel la vapeur agit dabord à haute pression dans le petit cylindre (B) puis par expansion dans le grand cylindre (A). En labsence dune théorie générale, les ingénieurs cherchèrent à déterminer le « rapport de volume » dans lequel ils devaient placer les deux cylindres : environ 1 à 4,5 soit un taux de détente de 9 pour la machine de Woolf[19], 1 à 8 soit un taux de détente de 64 pour la machine de Jacob Perkins. Pour Sadi Carnot, « Les machines à deux cylindres, quoique conçues sur dassez bons principes, se trouvent souvent loin de produire les résultats avantageux que lon aurait droit dattendre delles. Cela tient surtout à ce que les dimensions des diverses parties de ces machines sont difficiles à bien régler, et quelles se trouvent rarement dans un juste rapport les unes avec les autres » [20].

À linstar d'Émile Clapeyron (X 1816), de Gabriel Lamé (X 1814) ou encore dAntoine Raucourt (X 1809), le jeune officier Sébastien de Maillard séjourna plusieurs années à Saint-Pétersbourg le français était alors la langue véhiculaire de laristocratie et de lintelligentsia. Ses écrits attestent des tentatives pour contourner les obstacles scientifiques à laide de modules dans létude de la machine à vapeur l'emploi des proportions permet de ne pas expliciter des constantes souvent difficiles à déterminer.

Un peu plus tard, dans les Réflexions, Sadi Carnot « maintient le calcul à son rang de moyen et se contente volontiers dêtre un virtuose de la proportionnalitéun style très ancien ». Dans cet ouvrage il posa le théorème du rendement maximum qui le conduisit à « substituer la différence des chaleurs spécifiques à pression et à volume constants à leur rapport, comme constante spécifique » [21] soit \gamma = \frac{C_p}{C_v}

Avec la machine à vapeur, pivot de la révolution industrielle, lutilisation de module sous forme de rapports de grandeurs caractéristiques fut une fois encore une étape importante pour concilier réalisation pratique et recherche dune théorie générale. L'industrie généralisa par la suite une façon différente de créer des gammes de tailles : les séries de Renard.

Le module, des réalisations pratiques aux sources de la théorie

Fresque de Giuseppe Bezzuoli illustrant les expériences de Galilée avec le plan incliné

En matière d'art, le module a conduit au canon esthétique, cest-à-dire à la mort de l'art. Au contraire dans le domaine de la technique, le module a donné un début de rationalisation qui a ouvert la voie au triomphe de la technologie.

En architecture, lutilisation du module permet de respecter des proportions et ainsi de saffranchir de calculs précis sur la résistance des matériaux, calculs aujourdhui indispensables pour assurer la solidité des édifices (par exemple pour éviter le flambage d'une poutre en compression). En ce sens, le module a sans doute permis dobtenir des solutions approchées mais satisfaisantes pour résoudre des problèmes concrets de dimensionnement.

Le module permet daider à définir diverses dimensions utiles au technicien dans sa recherche dune solution adaptée. Il constitue en ce sens une recette largement répandue comme le montrent les études sur les équerres médiévales qui mettent en œuvre quelques angles caractéristiques comme 36° pour le triangle dor, 30 et 60 ° voir plus rarement 54 ou 26 °.

En caractérisant les propriétés mécaniques de certains matériaux (module de rigidité, de traction, de tortion...), le module permet ensuite dutiliser des formules algébriques pour résoudre des problèmes concrets. Ainsi le module de Young, qui caractérise la rigidité des matériaux, sera intégré dans « léquation déquarrissage » qui servira à dimensionner les poutres des abattoirs grâce aux calculs de déformation des poutres en flexion.

La tradition persistera jusquà la machine à vapeur, pour laquelle Sébastien de Maillard et ses prédécesseurs tenteront de contourner les obstacles scientifiques à laide de modules. Dans ce cas l'emploi des proportions permet de ne pas expliciter des constantes souvent difficiles à déterminer. De la même façon, dans ses expériences sur la chute des graves, Galilée ignorait que le roulement de la boule sur le plan incliné « absorbait » les 2/7e de g : en procédant par comparaisons avec un jet de référence (un module) il s'affranchissait de la connaissance de cette donnée inaccessible à lépoque [22]. Si laccélération du mouvement est connue depuis Aristote, Galilée ne se demande plus pourquoi la vitesse augmente mais bien comment elle augmente et surtout dans quelles proportions [23] ce qui constituera une étape fondamentale pour se libérer des spéculations[24].

Module en mathématique

Le terme de module est aussi employé en mathématiques (échelle logarithmique, module d'un nombre complexe, arithmétique modulaire, module sur un anneau, forme modulaire) avec plusieurs sens différents.

Pour une échelle logarithmique, le module est l'unité de longueur qui sépare le logarithme de 0,1 et celui de 1, égale à la distance entre le logarithme de 1 et celui de 10 ou de 10 et de 100. Le sens de « mesure » est aussi à l'origine de la signification du terme pour les nombres complexes. Jean-Robert Argand utilise ce vocable[25] pour désigner la norme, c'est-à-dire la longueur au sens géométrique de ce nombre.

L'origine sémantique en arithmétique est différente. Carl Friedrich Gauss parle[26] de « module » pour désigner la « cadence » de l'anneau Z/nZ. Les termes de période de Gauss et d'analyse harmonique sont toujours utilisés dans ce domaine mathématique. Ce mathématicien écrit en latin.

Les autres définitions, plus tardives, proviennent d'une généralisation du sens donné par Gauss et ne font plus référence à la langue morte. Elle tombe en désuétude comme langue scientifique. Les anneaux d'entiers possèdent parfois un groupe des unités analogue à Z/nZ, comme par exemple pour l'ensemble des entiers de Gauss. Le cas général est un peu plus complexe, la structure est élucidée par le théorème des unités de Dirichlet. Elle correspond à un groupe abélien de type fini. Par extension du vocabulaire défini par Gauss, on parle alors de module sur un anneau. L'utilisation de ce terme dépasse maintenant le cadre de l'arithmétique. Le terme de forme modulaire est un autre avatar de l'arithmétique. Il désigne une fonction analytique définie par un groupe de congruences, encore analogue à la construction de Gauss, et qui porte le nom de « groupe modulaire ».

Annexes

Bibliographie

Une planche de l'encyclopédie de Diderot et d'Alembert illustrant les proportions de la Statue d'Antinoüs

Notes et références

  1. Datée de 1547 - Le nouveau Petit Robert de la langue française 2007
  2. (s. dir.) Bertrand Gille : Histoire des techniques
  3. Les mécaniciens grecs p 219
  4. Les mécaniciens grecs p 42
  5. Les mécaniciens grecs, p 49
  6. Les mécaniciens grecs, p 155
  7. Le triangle pythagoricien est le triangle rectangle par excellence : côtés de l'angle droit de 3 unités et 4 unités, hypoténuse 5 unités. Ce triangle a donné lieu à la création de la corde à 13 nœuds (12 intervalles) qui permet de le reconstituer facilement car 3 + 4 + 5 = 12
  8. Les mécaniciens grecs p 113
  9. Les mécaniciens grecs p 155
  10. Les mécaniciens grecs p 160
  11. Au Japon la dimension du tatami, appelé alors (, じょう), constitue une unité de mesure pour les pièces de la maison : encore aujourd'hui, on parle couramment d'une pièce de 8 tatamis, comprenez une pièce qui peut accueillir 8 tatamis. De ce fait la largeur du tatami devient le module de référence dans la construction de l'habitat traditionnel : les pièces, mais aussi les portes, les fenêtres, les volets, sont dimensionnés dans cette unité.
  12. L'Âge d'or des sciences arabes, Actes Sud / Institut du monde arabe p 251
  13. Le rapport de la longueur à la largeur de la feuille de base vaut \sqrt{2}. Ce rapport (module) est remarquable au sens il a la propriété de se conserver lorsqu'on plie ou coupe la feuille en deux dans sa grande dimension. Voir aussi Racine carrée de deux
  14. Typographie de la bible de Gutemberg
  15. En savoir plus
  16. Ce type de plan se retrouve également pour l'Église ronde de Véliki Preslav
  17. Les quatre livres de l'architecture - Éditions Arthaud Paris 1980 - Préface de François Herbert Stevens
  18. Rudolf Wittkower, Les principes de l'architecture à la Renaissance, éditions de la Passion, Traduction française de 1996 (ISBN 2-906229-30-X)
  19. Sadi Carnot et l'essor de la thermodynamique, CNRS Editions. p 139
  20. Sadi Carnot et l'essor de la thermodynamique, CNRS Editions. p 147. Cette citation fait étrangement écho à celle de Philon de Byzance relative aux machines de jet et rédigée vingt-deux siècles plus tôt
  21. Sadi Carnot et l'essor de la thermodynamique, CNRS Editions. p 123
  22. Galilée et l'expérimentation - La Recherche en histoire des sciences p 134
  23. La révolution mathématique du XVIIe siècle - Évelyne Barbin. Voir aussi Mathématiques en Europe au XVIIe siècle
  24. Voir Mathématiques en Europe au XVIIe siècle.
  25. Jean-Robert Argand Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques 1806 Gauthier-Villars Paris 1874
  26. Carl Friedrich Gauss, Recherches arithmétiques, 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier page 1 1807

Voir aussi

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