Flambage

Flambage
Flexion sous un effort de compression.

Le flambage ou flambement est un phénomène d'instabilité d'une structure, qui soumise à un effort normal de compression, a tendance à fléchir et se déformer dans une direction perpendiculaire à l'axe de compression (passage d'un état de compression à un état de flexion).

Le terme flambement est plutôt utilisé en mécanique des structures.

Sommaire

Résistance des matériaux

Exemple d'une règle plate:

  • Si les extrémités de la règle sont tenues et tirées, la rupture de la règle se produit quand les contraintes de traction deviennent supérieures à la résistance mécanique en traction du plastique.
  • En revanche, si les extrémités de la règle sont tenues et comprimées dans le sens de la longueur, la règle va se plier et se briser avec un effort de compression bien plus faible que celui nécessaire à la rupture en traction.

Ce phénomène est appelé flambage.

En résistance des matériaux (RDM), le flambage est un phénomène d'instabilité élastique mis en évidence lorsqu'une poutre est comprimée, il se développe un moment de flexion parasite amplifié par les déformations et déplacements de la poutre chargée.

Ce phénomène n'est pas mis en évidence par le modèle RDM classique ou théorie des poutres car ce modèle considère que les efforts de calcul s'appliquent sur la structure non déformée (hypothèses de linéarisation externe et des petits déplacements de la mécanique des solides et de la RDM) et non sur la structure déjà en charge et déformée (théorie du second ordre).

Le flambage se produit d'autant plus facilement que la poutre est longue et de faible section. Le flambage dépend aussi du type de liaisons des extrémités de la poutre (les conditions d'appui).

Même si le terme poutre est employé ici, l'hypothèse RDM des petits déplacements doit être abandonnée pour que le modèle soit plus réaliste. Le modèle RDM doit être complété avec les hypothèses supplémentaires que les déformations restent petites mais que les déplacements peuvent être grands, cela permet de prendre en compte les phénomènes du second ordre négligés dans le modèle RDM.

Ce modèle RDM complété n'est plus linéaire, la résolution se fait par itérations successives jusqu'à convergence éventuelle du résultat. Ce modèle met en évidence des instabilités dont la charge critique d'Euler est un exemple simple.

La démonstration de la formule d'Euler est relativement complexe et sort du cadre de cet article. Comme cette formule ne fait intervenir que des termes issus du modèle RDM élastique linéaire (module de Young et géométrie de la poutre), on dit alors que le flambement est un phénomène d'instabilité élastique. En général le flambement élastique n'est que le début d'un comportement non linéaire bien plus complexe qui une fois amorcé conduit à des déformations plastiques dans le matériau puis à la ruine de la poutre.

Pour une poutre d'inertie constante soumise à un effort normal de compression simple, la charge critique de flambage théorique est donnée par la formule d'Euler:

F=\frac{\pi^2 E I}{l_k^2}

où

Cette charge critique est évidemment limitée par la résistance en section de la poutre (à partir d'un certain élancement, la ruine est atteinte avant l'apparition du flambage). Dans le cas réel, la ruine par flambage est atteinte encore plus précocement en raison notamment des imperfections de production et de mise en œuvre (voir ci-dessous).

Une expérience de démonstration des modes de flambage d'Euler. Cette expérience montre comment les conditions aux limites (rotule, encastrée, libre) influent la charge critique d'une poutre fine (dans cette expérience, toutes les poutres sont identiques à leurs conditions aux limites près)

Le facteur lk représente une longueur équivalente à celle d'une poutre rotulée-rotulée. Il s'agit de la distance séparant deux points d'inflexion de la déformée de la poutre. Ainsi,

  • pour une poutre rotulée aux deux bouts, l_k = 1 \times L, la longueur de la poutre ;
  • pour une poutre encastrée - encastrée mobile (selon l'axe vertical), l_k = 0,5 \times L ;
  • pour une poutre encastrée-rotulée, l_k = 0,7 \times L ;
  • pour une poutre encastrée-libre, l_k = 2 \times L.

Attention : Le flambage est un phénomène d'instabilité élastique lié au module de Young et indépendant de la limite élastique, utiliser un acier de limite élastique supérieure pour diminuer le flambage est une erreur grave.

Calcul pratique pour des matériaux homogènes

Ce problème est sérieusement considéré dans les cas du dimensionnement de poteaux ou de piliers et de bielles en mécanique, éléments nécessairement de grande longueur et soumis à la compression.

On définit habituellement un paramètre géométrique λ, appelé coefficient d'élancement (sans dimension) :

\lambda = \frac{l_k} {\rho} ,\quad\text{avec}\quad \rho^2 = \frac{I}{S}

où ρ est le rayon de giration de la poutre et S la section de cette poutre.

On peut alors définir un coefficient d'élancement critique λc (sans dimension), qui ne dépend que des propriétés du matériau :

\lambda_c^2 = \frac{\pi^2 E}{\sigma_e}

où σe est la limite élastique du matériau, puis le coefficient d'élancement relatif λrel (sans dimension)

\lambda_\text{rel} = \frac{\lambda}{\lambda_c} = \frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{\sigma_e}{E}}

En pratique, la formule d'Euler n'est pas directement utilisée pour dimensionner une poutre. En effet, la charge critique de flambage d'Euler ne pourrait être atteinte que dans le cas idéal d'une barre parfaitement rectiligne et homogène, sans aucune imperfection géométrique et chargée sans aucune excentricité. Dans la réalité, ces imperfections ont pour conséquence de mener à un flambage précoce de la barre, sous-estimé par la formule d'Euler. Enfin, la charge ultime est évidemment bornée par la résistance de la section en compression pure (σeS).

Pour tenir compte de manière unifiée de ces différentes considérations, la pratique développée habituellement dans les normes récentes consiste à introduire un facteur de flambage χ servant à réduire la résistance en section de la barre (compression simple) FR = σeS pour arriver à sa résistance globale en compression

F_\text{R,k} = \chi\cdot F_\text{R} = \chi\cdot\sigma_e\cdot S.

Ce facteur de flambage, issu de simulations numériques et de résultats expérimentaux, est généralement défini comme suit :

\chi = \frac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\lambda_\text{rel}^2}}\leqslant 1

où Φ est un facteur défini selon le matériau utilisé et le type d'imperfections. À titre d'exemple, dans la norme suisse de Construction métallique (SIA 263) ce facteur s'écrit :

\Phi = \frac{1+\alpha(\lambda_\text{rel}-0,2)+\lambda_\text{rel}^2}{2}

Dans cette formule, α est le facteur d'imperfection du matériau ; il dépend de la direction de flambage considérée et du procédé de fabrication. On remarque que lorsque α tend vers 0, la courbe de flambage χ(λrel) se rapproche de la courbe de flambage d'Euler 1 / λrel2.

Lorsque — comme fréquemment — la poutre n'est pas soumise qu'à la compression mais également à la flexion ou à l’effort tranchant, la charge ultime se trouve encore réduite, d'une part car une partie de la résistance est mobilisée pour s'opposer à ces sollicitations, d'autre part car le moment de flexion induit une courbure préalable qui sera amplifiée par la compression. On parle alors d'interaction d'efforts et les critères de rupture sont généralement formulés sur la base de courbes ou formules d'interaction. Ils dépendent notamment des parts relatives des différentes sollicitations dans la sollicitation totale.

Poteaux en béton armé

La formule d'Euler n'est pas applicable aux poteaux et butons en béton armé, en raison de la fissuration du béton l'inertie varie sur la longueur ce qui conduit à des calculs complexes. Un des pionniers de ce domaine de calculs fut Pierre Faessel qui établit des abaques de calculs.

Géologie

En géologie, on trouve aussi le phénomène de flambage, mais à une échelle bien plus grande qu'en RDM. La compression d'une masse continentale importante provoque à l'échelle locale ou régionale la formation d'une chaine de montagne. À l'échelle d'un continent entier, le flambage provoque des séries de "creux" et de "bosses" secondaires.

Par exemple, la collision alpine, en Europe occidentale, est responsable de la formation ou réactivation d'autres reliefs secondaires dont l'importance diminue à mesure que l'on s'éloigne des Alpes : Massif central ("bosse") et Limagne ("creux"), la Sologne (creux), le Massif Armoricain et les Alpes Mancelles (Bosse, bien que liée aussi à l'ouverture de l'Atlantique), la Mer du Nord (creux, dont l'autre facteur explicatif est aussi l'ouverture de l'Atlantique), le Pays de Caux et le Pays de Bray (bosses), les marais et polders de la région de Calais et du Nord de la Picardie (creux), le Boulonnais, l'Artois les Ardennes et l'Eifel (Bosses), la Flandre (creux).

On pourrait décrire de la même façon le contrecoup himalayen : plateaux de Tibet (creux), Altaï (bosse), lac Baïkal (creux).

Voir aussi

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