Mc²

Cet article de physique fait partie de la série relativité

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L'équation E=mc² a été formulée en 1905 par Albert Einstein dans le cadre de la relativité restreinte. Elle signifie qu'une particule isolée de masse m possède, du fait de cette masse, une énergie E, appelée énergie de masse donnée par le produit de m par le carré de la vitesse de la lumière.

Cette relation a fortement marqué les esprits car elle montre que, du fait de l'énormité du facteur c², une masse même petite à l'échelle humaine (par exemple 1 gramme) possède une quantité considérable d'énergie (environ 10¹⁴ joules pour une masse d'un gramme). Cependant, il faut se méfier des conversions directes : d'autres lois (conservation de la charge, du nombre baryonique...) montrent qu'on ne peut espérer convertir arbitrairement la matière en énergie suivant cette formule (on peut convertir en énergie une quantité égale de matière et d'antimatière).

Sommaire 1 Historique 2 Illustrations 3 Formulation générale 4 Cas d'une particule de masse nulle 5 Unités 5.1 Énergie en unités de masse 5.2 Masse en électron-volt 6 Énergie d'une particule 7 Autre notation 8 Notes et références 9 Voir aussi 9.1 Articles connexes

Historique

C'est avec le dernier des articles publiés lors de son annus mirabilis qu'Einstein exprime pour la première fois ce qui deviendra son équation célèbre : « Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/c² »^[1].

Dans ce texte, il produit une première démonstration pour le cas général de ce principe d'équivalence qui jusque-là n'avait été démontré que dans des cas particuliers^[2]. Il en proposera par la suite deux autres, en 1934 et en 1946^[2].

La paternité de l'équation E = mc² a donné lieu à une controverse sur la paternité de la relativité. Par exemple, dans son livre Theory of Relativity of Poincaré and Lorentz, ainsi que dans son livre A History of the Theories of Aether and Electricity (1954), le mathématicien et historien des sciences britannique Edmund Whittaker a crédité Henri Poincaré pour l'équation E = mc², ce qui est à son tour contesté par d'autres^[3].

Illustrations

En mécanique newtonienne, l'énergie d'une particule isolée provient de sa vitesse et se manifeste sous forme d'énergie cinétique. Au contraire, d'une façon inattendue à l'époque de sa découverte, E = mc² exprime qu'une particule de masse m possède intrinsèquement une énergie E, même si elle est au repos. Elle stipule que la masse est une forme d’énergie comme le sont l’énergie potentielle ou l’énergie cinétique. L’énergie d’un corps devient donc la somme de son énergie cinétique et de sa masse.

Cette équivalence entre masse et énergie ouvre un éventail de possibilités inconnues de la physique pré-relativiste. En relativité restreinte, la masse peut être convertie en chaleur, énergie cinétique ou autre forme d’énergie. En effet lorsque les particules d'un système donné subissent une transformation, par exemple lors d'une collision, la relativité restreinte impose que l'énergie totale (évaluée dans un certain système de coordonnées) se conserve. Mais comme l'énergie comprend la masse, il est tout-à-fait possible que de la masse apparaisse lors de la réaction (par exemple sous forme de particules) au détriment d'énergie ou que, au contraire, de l'énergie soit libérée par « consommation » de masse.

Numériquement, dans l'équation E = mc² et dans le système international d'unités :

• E est l'énergie exprimée en joules,
• m est la masse en kilogrammes,
• c est la vitesse de la lumière dans le vide, soit 299 792 458 m/s = 2,997 924 58×10⁸ m/s, ce qui correspond à un facteur c² ≈ 9×10¹⁶ m²⋅s^-2.

Dans le système CGS, E est en erg, m en grammes, c vaut 2,997 925×10¹⁰ cm/s et c² ≈ 9×10²⁰ cm²⋅s^-2.

Ce type de transformation de masse en énergie est utilisée par les piles atomiques ainsi que des bombes nucléaires. L’énergie correspondant à 1 kg de matière est énorme, car égale à 9×10¹⁶ joules : c'est l’énergie produite par un réacteur nucléaire d'une puissance de 1400 MW pendant deux ans environ. La France a produit en 2006 environ 80 % de son électricité dans des centrales nucléaires dont le bilan d'énergie peut être évalué à partir de la formule d'Einstein.

Mais cette relation n'est pas réservée au domaine du nucléaire. Par exemple en chimie, lorsque 1 kg d'hydrogène se combine avec 8 kg d'oxygène pour former de l'eau, environ 10⁸ joules d'énergie est libérée. Cette énergie correspond à une perte de masse d'environ 10^-9 kg, ce qui entraine que la masse de l'eau formée est inférieure de cette quantité à la masse initiale de 9 kilogrammes des réactifs.

Cependant le défaut de masse, de l'ordre du dixième de milliardième en valeur relative, est trop infime pour pouvoir être mis en évidence par des mesures expérimentales, qui arrivent au mieux à l'ordre du centième de millionième. C'est pour ça que l'on continue à utiliser le « théorème classique » de la conservation de la masse dans les réactions chimiques et dans la vie courante, mais en toute rigueur c'est inexact.

Néanmoins, les mesures de spectrométrie de masse les plus pointues approchent cet ordre de précision. Et alors on pourra visualiser directement l'équivalent de masse de l'énergie de liaison moléculaire, comme on le fait avec l'énergie de liaison nucléaire.

Un autre exemple illustrant l'équivalence entre masse et énergie est donné par le défaut de masse de l'atome le plus simple : la masse de l'atome d'hydrogène est inférieure à la somme des masses de l'électron et du proton d'une quantité juste égale à l'équivalent en masse de l'énergie d'ionisation de l'atome, bien que ce défaut soit tout à fait hors de portée de la mesure courante, puisqu'il vaut :  ; c'est-à-dire un dix-milliardième de la masse d'un proton...

On peut encore vérifier expérimentalement que la racine carrée du rapport E/m est égale à c dans l'exemple suivant. Dans la désintégration du positronium, il y a création et émission de deux rayons gamma d'énergie (mesurée) 0,511 MeV = 0,8186×10^-13 J, en compensation de la disparition de deux masses d'électron.

La masse d'un électron étant de 9,11×10^-31 kg, on trouve bien :

et donc :

À l'échelle astronomique, la formule explique également comment les étoiles, comme le Soleil, peuvent émettre leur énergie pendant des dizaines de milliards d'années, alors que cette situation constituait un mystère pour la physique du début du XX^e siècle, aucune source d'énergie connue à l'époque ne pouvant en rendre compte.

Au centre du Soleil, les conditions physiques sont telles que s'y produisent des réactions nucléaires capables au bout d'une chaine de processus de transformer 4 noyaux d'hydrogène (4 protons), en un noyau d'hélium. Il se trouve que la masse au repos du noyau d'hélium (⁴He) est inférieure à la somme des masses au repos des 2 protons et 2 neutrons qui le constituent^{[note 1]}. L'énergie équivalente à cette différence de masse est la source de l'énergie du Soleil, et grâce à l'importance du facteur de conversion c² et à la masse considérable du Soleil, le calcul montre que l'énergie libérée permet à notre étoile de briller pendant une bonne douzaine de milliards d'années^{[note 2]}.

Formulation générale

Si la formule E = mc² concerne une particule au repos, c'est-à-dire une particule dont la vitesse est nulle dans le référentiel choisi, que devient cette expression dans un autre référentiel, avec une particule animée d'une vitesse v ?

Alors que la géométrie euclidienne raisonne sur des points repérés dans l'espace par trois coordonnées, la relativité restreinte raisonne sur des événements repérés dans l'espace-temps par quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace. De même que la distance euclidienne entre deux points est invariante par changement de repère, de même la théorie relativiste stipule que le carré de l'intervalle d'espace-temps défini par :

où Δt représente l'intervalle de temps entre les deux événements et Δs la distance, est invariant par changement de repère. Autrement dit quand on mesure les coordonnées des mêmes événements dans plusieurs repères (t, x, y, z)), (t', x', y', z'), (t", x", y", z"),… différents la quantité suivante ne change pas de valeur :

Alors que la mécanique newtonienne considère d'une part l'énergie et d'autre part la quantité de mouvement d'un corps en mouvement, la relativité unifie ces deux concepts dans un objet unique : le quadrivecteur énergie-impulsion. Ce vecteur à quatre dimensions a pour composante temporelle l'énergie E/c de la particule et pour composante spatiale son vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) à trois dimensions. Comme il est le pendant du vecteur impulsion mv de la mécanique classique (produit de la masse par la vitesse) il est égal à m u où u est maintenant le quadrivecteur vitesse.

De même que le carré de l'intervalle d'espace-temps était invariant par changement de coordonnées, de même l'est le carré de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. Autrement dit la quantité :

est indépendante du repère dans lequel on l'évalue. Mais séparément, l'énergie et l'impulsion en dépendent.

Dans le repère propre de la particule, celui où elle est au repos, la vitesse, et donc l'impulsion, est nulle. Si on note E₀ l'énergie dans ce repère propre l'invariance de la quantité précédente s'écrit :

La valeur de E₀ nous est donné par le fameux mc² de sorte que l'on aboutit à l'équation capitale suivante :

ou encore :

La théorie montre que dans un repère où la vitesse de la particule est v l'énergie et la quantité de mouvement sont données par les formules :

avec la notation classique,

On vérifie que E² − p²c² = m²c⁴ et on déduit de ces formules la relation importante entre énergie et impulsion :

Cas d'une particule de masse nulle

Le cas d'une particule de masse nulle découle des formules précédentes, et notamment de :

Si une particule a une vitesse égale à c son énergie est :

Par conséquent sa masse est nulle puisqu'elle donnée par la formule :

Inversement si une particule a une masse nulle son énergie est E = pc et par conséquent v = c.

En physique des particules, plusieurs particules ont une masse nulle et se déplacent à la vitesse c, dont les photons, qui transportent le rayonnement électromagnétique, et les bosons de jauge, qui transmettent les autres interactions fondamentales du modèle standard. Le neutrino a longtemps été considéré comme une particule de masse nulle mais des expériences récentes comme celle de Super-Kamiokande font penser que cette masse serait toute petite mais pas nulle^{[note 3]}. Dans le cadre de la relativité générale les ondes gravitationnelles se déplacent aussi à la vitesse de la lumière et la particule associée, appelée graviton, devrait être de masse nulle. Néanmoins à ce jour, et contrairement aux autres particules citées, ni le graviton ni le rayonnement gravitationnel associé n'ont été observés expérimentalement.

Unités

Énergie en unités de masse

Les formules utilisées ci-dessus sont écrites en unités conventionnelles. Mais il peut être commode d'utiliser des unités mieux adaptées à l'espace-temps, en exprimant en particulier une énergie en kilogrammes, autrement dit en prenant comme unité d'énergie l'énergie d'un kilogramme de matière.

D'après la formule :

E(joules) = m(kilogrammes)×[c(m/s)]²,

l'énergie équivalente à la masse d'un kilogramme est :

énergie d'un kilogramme (en joules) = [c(m/s)]².

Par conséquent l'énergie en unités de masse sera :

E(en unités de masse) ≡ E(en kilogrammes) = E(en joules)/(énergie d'un kilogramme en joules) ≡ E(en joules)/[c(m/s)]²

On peut donc écrire :

et en sens inverse :

Numériquement :

1 kg = 8,988×10¹⁶ J

1 J = 1,113×10^-17 kg

ou dans le système CGS utilisé par habitude en astronomie :

1 g = 8,988×10²⁰ erg

1 erg = 1,113×10^-21 g

De la même façon, la réunion du temps et de l'espace en une seule entité invite le physicien à utiliser une même unité, la seconde ou le mètre, pour mesurer les longueurs et les temps^{[note 4]}.

On a les formules de passage suivantes :

,

où d_(s) est le temps mis par la lumière pour parcourir d_(m).

On écrit à l'identique :

,

où t_(m) est la distance parcourue par la lumière en t_(s).

L'utilisation d'une unité commune, disons la seconde, pour mesurer distance et temps est riche d'enseignement dans le contexte présent. En effet grâce à ce choix la vitesse v, rapport d'une distance à un temps, devient sans dimension. Par conséquent l'énergie cinétique newtonienne K = (1/2)mv² prend les dimensions d'une masse, ce qui revient à dire qu'on peut exprimer une énergie en unités de masse. On retrouve donc de façon simple, et néanmoins convenable, l'équivalence entre énergie et masse.

Ainsi, si l'énergie E est exprimée en unités de masse (par exemple en kilogrammes) la formule d'Einstein devient :

ou plus simplement :

.

En fait, en utilisant des unités relativistes, le facteur c disparaît de toutes les formules. Ainsi la formule donnant l'invariant du vecteur énergie-impulsion s'écrit maintenant :

où E_rel et p_rel sont exprimées en unités relativistes (c'est-à-dire en kilogrammes).

De même il est agréable d'écrire le carré du temps propre sous la forme homogène et symétrique :

sans avoir à traîner des facteurs c.

Masse en électron-volt

En sens inverse il est très courant en physique atomique de mesurer une masse en unités d'énergie. Ainsi la masse d'une particule est souvent donnée en électron-volt.

Un électron-volt vaut 1,602 176 53×10^-19 joule, énergie à laquelle correspond la masse 1eV/c², soit 1,783×10^-36 kg.

On a donc les formules de passage :

Puisque le nombre sans dimensions qui mesure une certaine grandeur est par définition le rapport entre la grandeur à mesurer et la grandeur choisie pour unité, ce nombre est inversement proportionnel à la valeur de l'unité choisie (si l'unité choisie est plus grande, le nombre qui mesurera la grandeur est lui plus petit).

Ici on a donc :

m(en eV) / m(en kg) = 1kg / 1eV,

de sorte que l'on peut écrire :

Rappelons les multiples usuels :

1 keV = 10³ eV

1 MeV = 10⁶ eV

1 GeV = 10⁹ eV

1 TeV = 10¹² eV

Par exemple, la masse de l'électron est de 511 keV, celle du proton de 938 MeV et celle du neutron est de 940 MeV.

Énergie d'une particule

L'énergie totale d'une particule isolée (qui dépend, rappelons-le, du repère choisi) peut s'écrire comme la somme de son énergie au repos mc² et de son énergie cinétique K.

On a donc :

L'énergie cinétique devient :

• Aux faibles vitesses (c'est-à-dire petites devant celle de la lumière), on obtient :

qui n'est autre que l'énergie cinétique classique.

• Pour les vitesses très proches de celle de la lumière, l'énergie au repos de la particule s'avère négligeable devant l'énergie cinétique.
  

Comme on peut écrire :

l'énergie totale devient :

Autre notation

En notant m₀ la masse de la particule et E₀ son énergie au repos l'équation d'Einstein s'écrit :

E₀ = m₀c².

On introduit alors parfois la quantité :

qui n'est plus la vraie masse m₀, mais qui, mesurant l'inertie de la particule, est parfois appelée masse inerte.

Dans ces conditions la formule écrite plus haut « E=γm₀c² » donnant l'énergie de la particule prend la même forme :

l'expression étant alors valable même dans le cas où le corps n'est pas au repos.

Cependant cet emploi est fortement déconseillé par les spécialistes. Ils font remarquer en effet que la vraie masse au repos, notée ici m₀, possède une signification physique indépendante du repère choisi car son carré est l'invariant du vecteur énergie-impulsion (en unités relativistes). Or cette propriété majeure n'est pas partagée par la pseudo-masse inerte m, qui elle dépend du repère choisi et ne mérite pas le nom de masse, car elle ne correspond plus à une véritable grandeur physique. Au mieux on peut considérer la formule E = mc² ainsi écrite comme un moyen mnémotechnique pour retenir l'expression de l'énergie mais la signification physique de cette formulation est faible.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes

• Relativité restreinte
• Théorie de la relativité
• Invariance de Lorentz
• Facteur de Lorentz
• Albert Einstein

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