Invariance De Lorentz

Invariance de Lorentz

Dans le cadre de la relativité restreinte (qui reste valable aussi en relativité générale), une quantité est dite invariante de Lorentz, on dit aussi scalaire de Lorentz, ou invariant relativiste, lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une transformation de Lorentz. Cela revient à dire que sa valeur est la même dans tous les référentiels galiléens.

Le premier exemple de quantité invariante de Lorentz est la métrique de Minkowski^[1] $\eta_{\mu\nu}\,$ . Si on considère une transformation de Lorentz représentée par $\Lambda\,$ ^[2], alors on a par définition des transformations de Lorentz

$\Lambda^t\eta\Lambda=\eta \,$

si on utilise la notation matricielle, ou

${\Lambda^{\mu'}}_\mu{\Lambda^{\nu'}}_\nu\eta_{\mu' \nu'}=\eta_{\mu\nu} \,$

si on adopte la notation d'indices plus commune en physique. On a adopté pour cette dernière la convention de sommation d'Einstein qui somme implicitement selon les quatre directions tout indice apparaissant à la fois en haut et en bas d'une expression.

A partir de cette quantité invariante fondamentale on peut en construire d'autres. Par exemple si on considère le quadrivecteur d'énergie-impulsion ^[3],

$P^{\mu}= \begin{pmatrix} E\\ \vec{p}\,c \end{pmatrix} \,$

constitué de l'énergie $E\,$ et de l'impulsion $\vec{p}\,$ . Il n'est pas invariant de Lorentz car il se transforme de la façon suivante ^[4]

$P^\mu\rightarrow{\Lambda^\mu}_\nu P^\nu \,$

Mais par contre on peut construire la quantité quadratique suivante par contraction de ce quadrivecteur en utilisant la métrique

$P^2\equiv P^{\mu}P_{\mu}\equiv\eta_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}=-E^2+p^2c^2=-m^2c^4 \,$

qui définit la masse en relativité restreinte. Cette quantité est un invariant de Lorentz, car si $P μ$ subit une transformation de Lorentz, la quantité $P μ P μ$ devient :

$P^\mu P_\mu=\eta_{\mu\nu}P^\mu P^\nu\rightarrow\eta_{\mu\nu}({\Lambda^\mu}_\rho P^\rho)({\Lambda^\nu}_\sigma P^\sigma)=\eta_{\rho\sigma}P^\rho P^\sigma=P^\rho P_\rho$

où on a utilisé l'invariance de la métrique énoncée au début de cette page pour l'avant-dernière étape du calcul. Comme $μ$ et $ρ$ sont des indices muets, on a bien retrouvé la norme du quadrivecteur $P$ , qui est donc une grandeur invariante. ^[5]

Dans cette démonstration, nous n'avons à aucun moment utilisé l'expression explicite de $P$ , ce qui signifie que la norme de n'importe quel quadrivecteur est une grandeur conservée par les transformations de Lorentz.

Le fait qu'une quantité soit invariante permet d'obtenir des résultats intéressants en choisissant des référentiels particuliers. Par exemple, si on considère le cas d'une particule de masse non-nulle $m\,$ alors on peut considérer le référentiel de repos dans lequel on a $\vec{p}=0\,$ . On obtient alors la célèbre identité

$E=mc^2 \,$

Par contre dans le cas d'une particule de masse nulle, comme le photon, il n'est pas possible de trouver un tel référentiel mais on a alors la relation

$-E^2+p^2c^2=0 \,.$

Notes

↑ On utilise par la suite ici la signature $(-,+,+,+)\,$ pour la métrique.
↑ C'est une matrice $4\times 4$ .
↑ Lorsqu'on se place a priori dans le cadre de la mécanique relativiste il est d'usage d'oublier le préfixe quadri et de parler plus simplement de vecteur ou dimpulsion.
↑ c'est la définition même d'un vecteur
↑ Invariant sous-entend 'par transformation de Lorentz'. Ne pas confondre avec conservé qui signifie constant dans le temps. La masse d'une particule élémentaire est invariante. En l'absence d'actions extérieures, son vecteur énergie-impulsion est conservé (mais pas invariant)

Voir aussi

Portail de la physique

Ce document provient de « Invariance de Lorentz ».

Catégorie : Relativité

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Invariance De Lorentz de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Invariance de lorentz — Dans le cadre de la relativité restreinte (qui reste valable aussi en relativité générale), une quantité est dite invariante de Lorentz, on dit aussi scalaire de Lorentz, ou invariant relativiste, lorsqu elle n est pas modifiée sous l application … Wikipédia en Français
invariance de Lorentz — Lorenco invariantiškumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lorentz invariance vok. Lorentz Invarianz, f rus. Лоренц инвариантность, f pranc. invariance de Lorentz, f … Fizikos terminų žodynas
Invariance de Lorentz — Dans le cadre de la relativité restreinte (qui reste valable aussi en relativité générale), une quantité est dite invariante de Lorentz, on dit aussi scalaire de Lorentz, ou invariant relativiste, lorsqu elle n est pas modifiée sous l application … Wikipédia en Français
LORENTZ (H. A.) — Pendant toute la période qui précéda l’avènement de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, la figure du théoricien néerlandais Lorentz domina le monde de la physique théorique. Pour les physiciens contemporains, son nom est lié … Encyclopédie Universelle
Lorentz invariance in loop quantum gravity — Loop quantum gravity (LQG) is a quantization of a classical Lagrangian field theory. It is equivalent to the usual Einstein Cartan theory in that it leads to the same equations of motion describing general relativity with torsion. As such, it can … Wikipedia
Lorentz transformation — A visualisation of the Lorentz transformation (full animation). Only one space coordinate is considered. The thin solid lines crossing at right angles depict the time and distance coordinates of an observer at rest with respect to that frame; the … Wikipedia
Lorentz invariance — Lorenco invariantiškumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lorentz invariance vok. Lorentz Invarianz, f rus. Лоренц инвариантность, f pranc. invariance de Lorentz, f … Fizikos terminų žodynas
Invariance — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Invariance », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) L invariance peut désigner : Physique… … Wikipédia en Français
Lorentz-Invarianz — Lorenco invariantiškumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lorentz invariance vok. Lorentz Invarianz, f rus. Лоренц инвариантность, f pranc. invariance de Lorentz, f … Fizikos terminų žodynas
Lorentz — Pour l’article homophone, voir Lorenz. Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Dominique Lorentz, journaliste d investigation française. Francis Lorentz, ancien dirigeant français d… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Invariance De Lorentz